ГДЗ по Математике 5 Класс Номер 71 Дорофеев, Шарыгин, Суворова — Подробные Ответы

Познакомьтесь со старинной легендой об изобретении шахмат, которая напрямую связана с математикой.
Индийский правитель, желая отблагодарить мудреца – изобретателя шахмат, предложил ему самому выбрать себе награду. Мудрец попросил дать ему за первое поле доски одно пшеничное зерно, за второе – два, за третье – четыре и так далее: за каждое следующее – вдвое больше, чем за предыдущее.
Правитель был удивлён скромной просьбой мудреца. Однако вскоре придворные математики сообщили ему, что выполнить её невозможно. Оказалось, что это количество зёрен фантастически велико: оно записывается числом, содержащим 20 цифр. А общая масса зёрен составляет сотни миллиардов тонн.
Познакомьтесь с последовательностью чисел, «возникающей» согласно легенде на клетках шахматной доски. Для этого сначала изготовьте фрагмент шахматной доски: возьмите альбомный лист бумаги, расположите его горизонтально и начертите на нём первые три ряда клеток, сделав их как можно крупнее. Затем пронумеруйте клетки, двигаясь в каждом ряду слева направо, номер проставляйте в углу.
Впишите в каждую клетку, начиная с первой, число, обозначающее соответствующее количество зёрен, и ответьте на вопросы:

1) За какую по счёту клетку количество зёрен впервые превысит 1 тыс.? 100 тыс.? 1 млн? Превысит ли количество зёрен за 26-ю клетку 20 млн?

2) Сравните сумму зёрен за первые две клетки с количеством зёрен за 3-ю клетку; сумму зёрен за первые три клетки с количеством зёрен за 4-ю клетку. Можете ли вы без подсчётов сказать, что больше: количество зёрен за первые десять клеток или количество зёрен за 11-ю клетку – и на сколько?

3) Во сколько раз количество зёрен на 9-й клетке больше числа зёрен на 1-й клетке? на 10-й больше, чем на 2-й? на 11-й больше, чем на 3-й? Можете ли вы ответить на такой вопрос для любой пары «верхней» и «нижней» клеток, не выполняя вычислений?

1) 1 тыс. на 11 клетке
100 тыс. на 18 клетке
1 млн. на 21 клетке
Да, за 26 клетку превысит 20 млн.

2) 1 + 2 < 4 – количество зёрен за 3 клетку больше, чем за сумму первых двух клеток
1 + 2 + 3 < 8 — количество зёрен за 4 клетку больше, чем за сумму первых трёх клеток
Количество зёрен за 11-ю клетку больше, чем за первые десять клеток на 1.
1 023 < 1 024

3) 256 : 1 = 256 раз – количество зёрен на 9 клетке больше, чем на 1
512 : 2 = 256 раз — количество зёрен на 10 клетке больше, чем на 2
1 024 : 4 = 256 раз — количество зёрен на 11 клетке больше, чем на 3 Да, оно всегда будет больше в 256 раз.

1. Количество зёрен на

$n$

n-й клетке вычисляется по формуле

$2^{n-1}$

2n−1.

• Для 1 тыс. (
  $2^{n-1}>1000$ 

  2n−1>1000):
  $2^{10}=1024$ 

  210=1024, значит, на 10-й клетке количество зёрен впервые превысит 1 тыс.

• Для 100 тыс. (
  $2^{n-1}>100000$ 

  2n−1>100000):
  $2^{17}=131072$ 

  217=131072, значит, на 17-й клетке количество зёрен впервые превысит 100 тыс.

• Для 1 млн. (
  $2^{n-1}>1000000$ 

  2n−1>1000000):
  $2^{20}=1048576$ 

  220=1048576, значит, на 20-й клетке количество зёрен впервые превысит 1 млн.

• Для 26-й клетки:
  $2^{26-1}=2^{25}=33554432$ 

  226−1=225=33554432, что больше 20 млн. Таким образом, количество зёрен за 26-ю клетку превысит 20 млн.

2. Сравнения:

• Сумма зёрен за первые две клетки:
  $1+2=3$ 

  $1+2=3$.
  Количество зёрен на 3-й клетке: $4$ 

  $4$.
  $4>3$ 

  $4>3$, значит, количество зёрен на 3-й клетке больше суммы за первые две.

• Сумма зёрен за первые три клетки:
  $1+2+4=7$ 

  $1+2+4=7$.
  Количество зёрен на 4-й клетке: $8$ 

  $8$.
  $8>7$ 

  $8>7$, значит, количество зёрен на 4-й клетке больше суммы за первые три.

• Количество зёрен за первые десять клеток:
  Сумма геометрической прогрессии:
  $S_{10}=2^{10}-1=1023$ 

  S10​=210−1=1023
  Количество зёрен на 11-й клетке: $2^{11-1}=2^{10}=1024$ 

  211−1=210=1024.
  $1024>1023$ 

  $1024>1023$, значит, количество зёрен на 11-й клетке больше суммы за первые десять клеток на 1 зерно.

3. Во сколько раз одно количество больше другого:

• На 9-й клетке:
  $2^{9-1}=2^8=256$ 

  29−1=28=256.
  На 1-й клетке: $2^{1-1}=2^0=1$ 

  21−1=20=1.
  $256\mathrm{/}1=256$ 

  $256/1=256$.
  Количество зёрен на 9-й клетке больше, чем на 1-й, в 256 раз.

• На 10-й клетке:
  $2^{10-1}=2^9=512$ 

  210−1=29=512.
  На 2-й клетке: $2^{2-1}=2^1=2$ 

  22−1=21=2.
  $512\mathrm{/}2=256$ 

  $512/2=256$.
  Количество зёрен на 10-й клетке больше, чем на 2-й, в 256 раз.

• На 11-й клетке:
  $2^{11-1}=2^{10}=1024$ 

  211−1=210=1024.
  На 3-й клетке: $2^{3-1}=2^2=4$ 

  23−1=22=4.
  $1024\mathrm{/}4=256$ 

  $1024/4=256$.
  Количество зёрен на 11-й клетке больше, чем на 3-й, в 256 раз.

Для любой пары клеток

$n$

n и

$m$

m, где

$n>m$

n>m, количество зёрен на

$n$

n-й клетке больше, чем на

$m$

m-й, в

$2^{n-m}$

2n−m раз. Это следует из свойств степеней двойки:

$\frac{2^{n-1}}{2^{m-1}}=2^{n-m}\mathrm{.}$

2m−12n−1​=2n−m.
Таким образом, ответ можно дать без вычислений.