ГДЗ по Математике 5 Класс Номер 281 Дорофеев, Шарыгин, Суворова — Подробные Ответы

Квадраты на рисунке 3.8, а изображают последовательность квадратов натуральных чисел: 1², 2², 3², … .
Эти же квадраты на рисунке 3.8, б изображают последовательность чисел, получаемых по правилу: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, … .
Поэтому можно записать равенства:
1² = 1;
2² = 1 + 3;
3² = 1 + 3 + 5.
Используя эти рисунки, запишите ещё несколько равенств.

4² = 1 + 3 + 5 + 7
5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
6² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
8² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15
9² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17

Подробно разберём, как получить равенства для квадратов натуральных чисел, используя последовательность нечётных чисел.

Понимание правила

На рисунке показано, что:

1² = 1
2² = 1 + 3
3² = 1 + 3 + 5

Каждое следующее число в правой части равенства — это сумма всех нечётных чисел, начиная с 1. Например, для 3² мы суммируем первые три нечётных числа: 1, 3 и 5.

Построение следующих равенств

Для каждого квадрата $n^2$, где $n$ — натуральное число, нужно взять сумму первых $n$ нечётных чисел.

• 4²: Первые 4 нечётных числа — это 1, 3, 5, 7. Сумма:
  4² = 1 + 3 + 5 + 7.
• 5²: Первые 5 нечётных чисел — это 1, 3, 5, 7, 9. Сумма:
  5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
• 6²: Первые 6 нечётных чисел — это 1, 3, 5, 7, 9, 11. Сумма:
  6² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11.
• 7²: Первые 7 нечётных чисел — это 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Сумма:
  7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13.
• 8²: Первые 8 нечётных чисел — это 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Сумма:
  8² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15.
• 9²: Первые 9 нечётных чисел — это 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. Сумма:
  9² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17.

Итог

Таким образом, равенства для квадратов натуральных чисел через сумму нечётных чисел будут такими:

4² = 1 + 3 + 5 + 7
5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
6² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
8² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15
9² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17

Каждое равенство демонстрирует, что квадрат числа $n$ равен сумме первых $n$ нечётных чисел.