ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 99 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях $c$ уравнение не имеет корней:
a) $2x^2-10x+c=0$;
б) $-3x^2+2x+c=0$?

В каждом случае ответьте, имеет ли уравнение корни при $c$, равном $-0,5$; $-0,1$; $0$; $12,5$; $15,7$.

a) $2x^2-10x+c=0$:
$D={10}^2-4\cdot 2\cdot c=100-8c;$

1)Не имеет корней при $D<0$:

$$100-8c<0;$$

$$$$$$-8c<-100;$$

$$$$$$8c>100;$$

$$$$$$c>\frac{100}{8};$$

$$$$$$c>12,5;$$

2)При $c=-0,5;-0,1;0;12,5$ — имеет корни;

3)При $c=15,7$ — не имеет корней;

б) $-3x^2+2x+c=0$:
$D=2^2+4\cdot 3\cdot c=4+12c;$

1)Не имеет корней при $D<0$:

$$4+12c<0;$$

$$$$$$12c<-4;$$

$$$$$$c<\frac{-4}{12};$$

$$$$$$c<-\frac{1}{3}\approx -0,33;$$

2)При $c=-0,1;0;12,5;15,7$ — имеет корни;

3)При $c=-0,5$ — не имеет корней;

a) $2x^2-10x+c=0$:

Рассчитаем дискриминант для этого квадратного уравнения. Для уравнения вида $a{x}^2+bx+c=0$ дискриминант вычисляется по формуле:

$$D=b^2-4ac$$

Заменяем значения $a=2$, $b=-10$ и $c=c$ в формулу для дискриминанта:

$$D=(-10{)}^2-4\cdot 2\cdot c=100-8c$$

Для того чтобы уравнение не имело корней, дискриминант должен быть меньше нуля:

$$D<0\Rightarrow 100-8c<0$$

Переносим $8c$ на правую сторону:

$$100<8c$$

Разделим обе части на 8:

$$\frac{100}{8}<c\Rightarrow c>12,5$$

Таким образом, уравнение не имеет корней при $c>12,5$.

Проверим, имеет ли уравнение корни при различных значениях $c$:

• При $c=-0,5$:

$$D=100-8(-0,5)=100+4=104\text{(корни есть, так как }D>0\text{)}$$

• При $c=-0,1$:

$$D=100-8(-0,1)=100+0,8=100,8\text{(корни есть, так как }D>0\text{)}$$

• При $c=0$:

$$D=100-8(0)=100\text{(корни есть, так как }D>0\text{)}$$

• При $c=12,5$:

$$D=100-8(12,5)=100-100=0\text{(корни есть, так как }D=0\text{)}$$

• При $c=15,7$:

$$D=100-8(15,7)=100-125,6=-25,6\text{(корней нет, так как }D<0\text{)}$$

Ответ: Уравнение не имеет корней при $c>12,5$, а при $c=-0,5$; $-0,1$; $0$; $12,5$ — имеет корни, при $c=15,7$ — не имеет корней.

б) $-3x^2+2x+c=0$:

Рассчитаем дискриминант для этого уравнения. Используя те же принципы, что и в предыдущем случае, для уравнения $-3x^2+2x+c=0$ дискриминант вычисляется как:

$$D=b^2-4ac$$

Заменяем $a=-3$, $b=2$, $c=c$:

$$D=2^2-4\cdot (-3)\cdot c=4+12c$$

Для того чтобы уравнение не имело корней, дискриминант должен быть меньше нуля:

$$D<0\Rightarrow 4+12c<0$$

Переносим $12c$ на левую сторону:

$$12c<-4$$

Разделим обе части на 12:

$$c<\frac{-4}{12}\Rightarrow c<-\frac{1}{3}\approx -0,33$$

Таким образом, уравнение не имеет корней при $c<-\frac{1}{3}$.

Проверим, имеет ли уравнение корни при различных значениях $c$:

• При $c=-0,5$:

$$D=4+12(-0,5)=4-6=-2\text{(корней нет, так как }D<0\text{)}$$

• При $c=-0,1$:

$$D=4+12(-0,1)=4-1,2=2,8\text{(корни есть, так как }D>0\text{)}$$

• При $c=0$:

$$D=4+12(0)=4\text{(корни есть, так как }D>0\text{)}$$

• При $c=12,5$:

$$D=4+12(12,5)=4+150=154\text{(корни есть, так как }D>0\text{)}$$

• При $c=15,7$:

$$D=4+12(15,7)=4+188,4=192,4\text{(корни есть, так как }D>0\text{)}$$

Ответ: Уравнение не имеет корней при $c<-\frac{1}{3}$, а при $c=-0,1$; $0$; $12,5$; $15,7$ — имеет корни, при $c=-0,5$ — не имеет корней.