ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 98 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях $a$ корень уравнения является числом положительным:
а) $3x = a + 12;$
б) $6(x + 1) = 2a + 5;$
в) $ax — 4 = x + 8?$

В каждом случае возьмите какое-нибудь значение $a$ из найденного множества и решите уравнение.

a) $3x = a + 12$:
$x = \frac{a + 12}{3};$

1)Корень положительный при:
$\frac{a + 12}{3} > 0;$
$a + 12 > 0;$
$a > -12;$

2)Проверим, пусть $a = -6$, тогда:
$x = \frac{-6 + 12}{3} = \frac{6}{3} = 2;$

б) $6 \cdot (x + 1) = 2a + 5$:
$6x + 6 = 2a + 5;$
$6x = 2a — 1;$
$x = \frac{2a — 1}{6};$

1)Корень положительный при:
$\frac{2a — 1}{6} > 0;$
$2a — 1 > 0;$
$a > 0,5;$

2)Проверим, пусть $a = 2$, тогда:
$x = \frac{2 \cdot 2 — 1}{6} = \frac{4 — 1}{6} = \frac{3}{6} = 0,5;$

в) $ax — 4 = x + 8$:
$ax — x = 8 + 4;$
$x(a — 1) = 12;$
$x = \frac{12}{a — 1};$

1)Корень положительный при:
$\frac{12}{a — 1} > 0;$
$a — 1 > 0;$
$a > 1;$

2)Проверим, пусть $a = 7$, тогда:
$x = \frac{12}{7 — 1} = \frac{12}{6} = 2;$

a) $3x = a + 12$:

Начнем с того, что нужно выразить $x$ через $a$. Для этого разделим обе части уравнения на 3:

$$x = \frac{a + 12}{3}$$

Теперь, чтобы корень уравнения был положительным, нам нужно, чтобы $x > 0$. Для этого рассмотрим неравенство:

$$\frac{a + 12}{3} > 0$$

Умножаем обе части неравенства на 3 (так как 3 положительное число, знак неравенства не изменится):

$$a + 12 > 0$$

Из этого неравенства получаем:

$$a > -12$$

Таким образом, корень уравнения будет положительным при всех значениях $a > -12$.

Теперь проверим конкретное значение $a = -6$. Подставляем это значение в уравнение:

$$x = \frac{-6 + 12}{3} = \frac{6}{3} = 2$$

Получаем, что $x = 2$, что является положительным числом.

Ответ: Положительный корень при $a > -12$, проверка с $a = -6$ дает $x = 2$.

б) $6 \cdot (x + 1) = 2a + 5$:

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$$6x + 6 = 2a + 5$$

Переносим все слагаемые с $x$ на одну сторону, а все остальное на другую:

$$6x = 2a + 5 — 6$$ $$6x = 2a — 1$$

Разделим обе части уравнения на 6:

$$x = \frac{2a — 1}{6}$$

Теперь найдем условия, при которых $x > 0$. Для этого решим неравенство:

$$\frac{2a — 1}{6} > 0$$

Умножим обе части неравенства на 6 (так как 6 положительное число, знак неравенства не изменится):

$$2a — 1 > 0$$

Добавляем 1 к обеим частям:

$$2a > 1$$

Делим обе части на 2:

$$a > \frac{1}{2}$$

Таким образом, корень уравнения будет положительным при $a > \frac{1}{2}$.

Проверим конкретное значение $a = 2$. Подставляем это значение в уравнение:

$$x = \frac{2 \cdot 2 — 1}{6} = \frac{4 — 1}{6} = \frac{3}{6} = 0.5$$

Получаем, что $x = 0.5$, что является положительным числом.

Ответ: Положительный корень при $a > \frac{1}{2}$, проверка с $a = 2$ дает $x = 0.5$.

в) $ax — 4 = x + 8$:

Переносим все слагаемые с $x$ на одну сторону:

$$ax — x = 8 + 4$$ $$x(a — 1) = 12$$

Разделим обе стороны уравнения на $a — 1$ (предполагаем, что $a \neq 1$):

$$x = \frac{12}{a — 1}$$

Чтобы корень уравнения был положительным, нужно, чтобы $x > 0$. Для этого решим неравенство:

$$\frac{12}{a — 1} > 0$$

Условие $\frac{12}{a — 1} > 0$ выполняется, когда знаменатель $a — 1$ положителен. То есть:

$$a — 1 > 0$$

Получаем:

$$a > 1$$

Таким образом, корень уравнения будет положительным при $a > 1$.

Проверим конкретное значение $a = 7$. Подставляем это значение в уравнение:

$$x = \frac{12}{7 — 1} = \frac{12}{6} = 2$$

Получаем, что $x = 2$, что является положительным числом.

Ответ: Положительный корень при $a > 1$, проверка с $a = 7$ дает $x = 2$.