ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 76 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Объясните, как из первого неравенства получить второе, ему равносильное:

a) $x — 2 < 3$; $x < 5$

б) $3u \leqslant 12$; $u \leqslant 4$

в) $\frac{y}{3} < 2$; $y < 6$

г) $-y > 8$; $y < -8$

д) $-7y \geqslant 2$; $y \leqslant -\frac{2}{7}$

е) $-\frac{t}{5} \leqslant 0.1$; $t \geqslant -0.5$

ж) $\frac{x + 2}{4} < 1$; $x < 2$

з) $2u + 1 \leqslant 5$; $u \leqslant 2$

а) $x — 2 < 3$ и $x < 5x$:
$x — 2 + 2 < 3 + 2$;
$x < 5$;

б) $3u \leqslant 12$ и $u \leqslant 4$:
$3u \cdot \frac{1}{3} \leqslant 12 \cdot \frac{1}{3}$;
$u \leqslant 4$;

в) $\frac{y}{3} < 2$ и $y < 6$:
$\frac{y}{3} \cdot 3 < 2 \cdot 3$;
$y < 6$;

г) $-y > 8$ и $y < -8$:
$-y \cdot (-1) < 8 \cdot (-1)$;
$y < -8$;

д) $-7y \geqslant 2$ и $y \leqslant -\frac{2}{7}$:
$-7y \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) \leqslant 2 \cdot \left(-\frac{1}{7}\right)$;
$y \leqslant -\frac{2}{7}$;

е) $-\frac{t}{5} \leqslant 0.1$ и $t \geqslant -0.5$:
$-\frac{t}{5} \cdot (-5) \geqslant 0.1 \cdot (-5)$;
$t \geqslant -0.5$;

ж) $\frac{x + 2}{4} < 1$ и $x < 2$:
$\frac{x + 2}{4} \cdot 4 < 1 \cdot 4$;
$x + 2 < 4$;
$x + 2 — 2 < 4 — 2$;
$x < 2$;

з) $2u + 1 \leqslant 5$ и $u \leqslant 2$:
$2u + 1 — 1 \leqslant 5 — 1$;
$2u \leqslant 4$;
$2u \cdot \frac{1}{2} \leqslant 4 \cdot \frac{1}{2}$;
$u \leqslant 2$.

а) $x — 2 < 3$ и $x < 5x$:

Рассмотрим первое неравенство $x — 2 < 3$. Чтобы решить его относительно $x$, добавим 2 к обеим частям:

$$x — 2 + 2 < 3 + 2 \quad \Rightarrow \quad x < 5.$$

Таким образом, из первого неравенства мы получаем, что $x < 5$.

Теперь рассмотрим второе неравенство $x < 5x$. Переносим все $x$-термы на одну сторону, вычитая $x$ из обеих частей:

$$x — 5x < 0 \quad \Rightarrow \quad -4x < 0.$$

Теперь делим обе части на $-4$. Поскольку мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется:

$$x > 0.$$

Таким образом, из второго неравенства получаем $x > 0$.

Ответ: решение для системы этих неравенств — $0 < x < 5$.

б) $3u \leqslant 12$ и $u \leqslant 4$:

Рассмотрим неравенство $3u \leqslant 12$. Чтобы найти $u$, разделим обе части на 3:

$$\frac{3u}{3} \leqslant \frac{12}{3} \quad \Rightarrow \quad u \leqslant 4.$$

Это означает, что $u \leqslant 4$.

Второе неравенство $u \leqslant 4$ уже дано в исходной форме, так что никаких изменений здесь не требуется.

Ответ: $u \leqslant 4$.

в) $\frac{y}{3} < 2$ и $y < 6$:

Рассмотрим неравенство $\frac{y}{3} < 2$. Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на 3:

$$\frac{y}{3} \cdot 3 < 2 \cdot 3 \quad \Rightarrow \quad y < 6.$$

Таким образом, из первого неравенства мы получаем $y < 6$.

Второе неравенство $y < 6$ уже указано, и оно совпадает с результатом первого неравенства.

Ответ: $y < 6$.

г) $-y > 8$ и $y < -8$:

Рассмотрим неравенство $-y > 8$. Умножим обе части на $-1$, меняя знак неравенства:

$$-y \cdot (-1) < 8 \cdot (-1) \quad \Rightarrow \quad y < -8.$$

Таким образом, из первого неравенства получаем, что $y < -8$.

Второе неравенство $y < -8$ уже дано, и оно совпадает с результатом первого неравенства.

Ответ: $y < -8$.

д) $-7y \geqslant 2$ и $y \leqslant -\frac{2}{7}$:

Рассмотрим неравенство $-7y \geqslant 2$. Разделим обе части неравенства на $-7$, при этом знак неравенства меняется:

$$-7y \cdot \left( -\frac{1}{7} \right) \leqslant 2 \cdot \left( -\frac{1}{7} \right) \quad \Rightarrow \quad y \leqslant -\frac{2}{7}.$$

Таким образом, из первого неравенства мы получаем $y \leqslant -\frac{2}{7}$.

Второе неравенство $y \leqslant -\frac{2}{7}$ уже указано, и оно совпадает с результатом первого неравенства.

Ответ: $y \leqslant -\frac{2}{7}$.

е) $-\frac{t}{5} \leqslant 0.1$ и $t \geqslant -0.5$:

Рассмотрим неравенство $-\frac{t}{5} \leqslant 0.1$. Умножим обе части на $-5$, при этом знак неравенства меняется:

$$-\frac{t}{5} \cdot (-5) \geqslant 0.1 \cdot (-5) \quad \Rightarrow \quad t \geqslant -0.5.$$

Таким образом, из первого неравенства мы получаем $t \geqslant -0.5$.

Второе неравенство $t \geqslant -0.5$ уже указано, и оно совпадает с результатом первого неравенства.

Ответ: $t \geqslant -0.5$.

ж) $\frac{x + 2}{4} < 1$ и $x < 2$:

Рассмотрим неравенство $\frac{x + 2}{4} < 1$. Умножим обе части на 4:

$$\frac{x + 2}{4} \cdot 4 < 1 \cdot 4 \quad \Rightarrow \quad x + 2 < 4.$$

Теперь вычитаем 2 из обеих частей:

$$x + 2 — 2 < 4 — 2 \quad \Rightarrow \quad x < 2.$$

Таким образом, из первого неравенства мы получаем $x < 2$.

Второе неравенство $x < 2$ уже указано, и оно совпадает с результатом первого неравенства.

Ответ: $x < 2$.

з) $2u + 1 \leqslant 5$ и $u \leqslant 2$:

Рассмотрим неравенство $2u + 1 \leqslant 5$. Вычитаем 1 из обеих частей:

$$2u + 1 — 1 \leqslant 5 — 1 \quad \Rightarrow \quad 2u \leqslant 4.$$

Теперь делим обе части на 2:

$$2u \cdot \frac{1}{2} \leqslant 4 \cdot \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad u \leqslant 2.$$

Таким образом, из первого неравенства мы получаем $u \leqslant 2$.

Второе неравенство $u \leqslant 2$ уже указано, и оно совпадает с результатом первого неравенства.

Ответ: $u \leqslant 2$.