ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 75 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Подберите какие-нибудь два числа, являющиеся решениями данного неравенства, и два числа, не являющиеся его решениями:

а) $x<5x$;
б) $\frac{1}{y}>y$;
в) $a>-a^2$.

а) $x<5x$:
$x-5x<0$;
$-4x<0$;
$x>0$;
Решения: $4$; $0.1$; $45$;
Не решения: $0$; $-2$; $-5.4$;

б) $\frac{1}{y}>y$:
$\frac{1}{y}>y\cdot y$;
$y^2<1$;
$-1<y<1$;
Но при этом $y\mathrm{\ne }0$;
Решения: $0.5$; $0.9$; $\frac{1}{3}$;
Не решения: $2$; $-1$; $0$;

в) $a>-a^2$:
$-a^2⩽0$, значит $a>0$;
Но также при $a<0$:
$\frac{a}{a}<-\frac{a^2}{a}$;
$1<-a$;
$a<-1$;
Тогда $a\in (-\mathrm{\infty };-1)\cup (0;+\mathrm{\infty })$;
Решения: $1$; 2; $-5$;
Не решения: $0$; $-1$; $\frac{1}{2}$.

а) $x<5x$:

Начнем с исходного неравенства $x<5x$.
Переносим все $x$-термы на одну сторону, вычитая $x$ из обеих частей:

$$x-5x<0\Rightarrow -4x<0.$$

Чтобы найти $x$, делим обе части на $-4$. Поскольку делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

$$x>0.$$

Это означает, что все значения $x$, которые больше нуля, являются решениями неравенства $x<5x$.

Теперь подставим различные числа:

$x=4$, получаем $4>0$ — верно.

$x=0.1$, получаем $0.1>0$ — верно.

$x=45$, получаем $45>0$ — верно.

$x=0$, получаем $0>0$ — неверно (нестрогое неравенство).

$x=-2$, получаем $-2>0$ — неверно.

$x=-5.4$, получаем $-5.4>0$ — неверно.

Ответ: решения — $4$; $0.1$; $45$; не решения — $0$; $-2$; $-5.4$.

б) $\frac{1}{y}>y$:

Исходное неравенство: $\frac{1}{y}>y$.
Умножим обе части неравенства на $y$, но при этом важно учитывать, что если $y$ положительное, неравенство не меняется, а если отрицательное — меняется знак неравенства. Разделим на два случая.

Случай 1: $y>0$
Умножим обе части на $y$ (при $y>0$ неравенство сохраняется):

$$1>y^2\mathrm{.}$$

Это неравенство можно переписать как:

$$y^2<1.$$

Это означает, что $y$ должно лежать в пределах $-1<y<1$, но так как $y>0$, то:

$$0<y<1.$$

Случай 2: $$$y<0$
Умножаем обе части неравенства на $y$ (при $y<0$ знак неравенства меняется):

$$1<y^2\mathrm{.}$$

Это означает:

$$y^2>1.$$

Так как $y$ отрицательно, то $y$ должно быть либо меньше $-1$, либо больше 1, но для $y<0$, только $y<-1$ подходит.

Таким образом, для $y>0$ решения: $0<y<1$; для $y<0$ решения: $y<-1$.

Подставим числа:

$y=0.5$, получаем $\frac{1}{0.5}=2>0.5$ — верно.

$y=0.9$, получаем $\frac{1}{0.9}\approx 1.11>0.9$ — верно.

$y=\frac{1}{3}$, получаем $\frac{1}{\frac{1}{3}}=3>\frac{1}{3}$ — верно.

$y=2$, получаем $\frac{1}{2}=0.5>2$ — неверно.

$y=-1$, получаем $\frac{1}{-1}=-1>-1$ — неверно.

$y=0$, получаем $\frac{1}{0}$ — неопределено, не является решением.

Ответ: решения — $0.5$; $0.9$; $\frac{1}{3}$; не решения — $2$; $-1$; $0$.

в) $a>-a^2$:

Начнем с неравенства $a>-a^2$. Переносим все на одну сторону:

$$a+a^2>0.$$

Это можно записать как:

$$a^2+a>0.$$

Рассмотрим это неравенство как квадратное уравнение:

$$a(a+1)>0.$$

Решение этого неравенства сводится к поиску промежутков, в которых произведение двух чисел положительно.

Произведение $a(a+1)>0$ будет положительным, если:

• $a>0$ и $a+1>0$ (то есть $a>0$),
• $a<-1$ и $a+1<0$ (то есть $a<-1$).

Таким образом, решение: $a\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup (0,+\mathrm{\infty })$.

Подставим числа:

$a=1$, получаем $1>-1^2$, то есть $1>-1$ — верно.

$a=-5$, получаем $-5>-(-5{)}^2$, то есть $-5>-25$ — верно.

$a=0$, получаем $0>-0^2$, то есть $0>0$ — неверно.

$a=-1$, получаем $-1>-(-1{)}^2$, то есть $-1>-1$ — неверно (нестрогое неравенство).

$a=\frac{1}{2}$, получаем $\frac{1}{2}>-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$, то есть $\frac{1}{2}>-\frac{1}{4}$ — верно.

Ответ: решения — $1$; $-5$; не решения — $0$; $-1$; $\frac{1}{2}$.