ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 74 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Какие из чисел $-3$; $-1$; $0$; $1$; $2$; $3$ являются решениями данного неравенства, а какие не являются:

а) $2x+8<12$;

б) $y<3y+1$;

в) $z^2⩽z$;

г) $\frac{4}{a-2}>0$?

Числа: $-3$; $-1$; $0$; $1$; $2$; $3$;

а) $2x+8<12$:
$2x<12-8$;
$2x<4$;
$x<\frac{4}{2}$;
$x<2$;
Ответ: $-3$; $-1$; $0$; $1$.

б) $y<3y+1$:
$y-3y<1$;
$-2y<1$;
$2y>-1$;
$y>-\frac{1}{2}$;
Ответ: $0$; $1$; $2$; $3$.

в) $z^2⩽z$:
$z^2⩾0$, значит $z⩾0$;
$\frac{z^2}{z}⩽\frac{z}{z}$;
$z⩽1$;
Тогда $0⩽z⩽1$;
Ответ: $0$; $1$.

г) $\frac{4}{a-2}>0$:
$a-2>0$;
$a>2$;
Ответ: $3$.

а) $2x+8<12$:

Начнем с исходного неравенства $2x+8<12$.
Чтобы решить его относительно $x$, сначала вычтем 8 из обеих частей:

$$2x<12-8\Rightarrow 2x<4.$$

Далее разделим обе части неравенства на 2:

$$x<\frac{4}{2}\Rightarrow x<2.$$

Это означает, что решение неравенства $2x+8<12$ — все значения $x$, которые меньше 2.

Теперь подставим числа $-3$; $-1$; $0$; $1$; $2$; $3$ в неравенство $x<2$:

$-3<2$ — верно;

$-1<2$ — верно;

$0<2$ — верно;

$1<2$ — верно;

$2<2$ — неверно (нестрогое неравенство);

$3<2$ — неверно.

Ответ: $-3$; $-1$; $0$; $1$.

б) $y<3y+1$:

Начнем с исходного неравенства $y<3y+1$.
Переносим все $y$-термы на одну сторону, вычитая $3y$ из обеих частей:

$$y-3y<1\Rightarrow -2y<1.$$

Теперь разделим обе части неравенства на $-2$. Поскольку мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется:

$$y>-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Это означает, что решение неравенства $y<3y+1$ — все значения $y$, которые больше $-\frac{1}{2}$.

Подставим числа $-3$; $-1$; $0$; $1$; $2$; $3$ в неравенство $y>-\frac{1}{2}$:

$-3>-\frac{1}{2}$ — неверно;

$-1>-\frac{1}{2}$ — неверно;

$0>-\frac{1}{2}$ — верно;

$1>-\frac{1}{2}$ — верно;

$2>-\frac{1}{2}$ — верно;

$3>-\frac{1}{2}$ — верно.

Ответ: $0$; $1$; $2$; $3$.

в) $z^2⩽z$:

Исходное неравенство $z^2⩽z$. Чтобы решить его, сначала перенесем все на одну сторону:

$$z^2-z⩽0.$$

Это можно записать как:

$$z(z-1)⩽0.$$

Теперь нужно решить неравенство $z(z-1)⩽0$. Это произведение двух чисел будет отрицательным или равным нулю, если одно из чисел отрицательно, а другое положительно, или одно из чисел равно нулю. Рассмотрим промежутки для $z$:

Если $z=0$, то выражение равно 0, что подходит.

Если $z=1$, то выражение равно 0, что также подходит.

Если $0<z<1$, то $z$ положительное, а $z-1$ отрицательное, значит, произведение отрицательное, что подходит.

Если $z>1$, то оба числа положительные, и произведение положительное, что не подходит.

Таким образом, $0⩽z⩽1$.

Подставим числа $-3$; $-1$; $0$; $1$; $2$; $3$ в неравенство $0⩽z⩽1$:

$-3$ не подходит;

$-1$ не подходит;

$0$ подходит;

$1$ подходит;

$2$ не подходит;

$3$ не подходит.

Ответ: $0$; $1$.

г) $\frac{4}{a-2}>0$:

Исходное неравенство $\frac{4}{a-2}>0$. Чтобы это выражение было положительным, знаменатель должен быть положительным, так как числитель $4$ положителен. Следовательно:

$$a-2>0\Rightarrow a>2.$$

Подставим числа $-3$; $-1$; $0$; $1$; $2$; $3$ в неравенство $a>2$:

• $-3>2$ — неверно;
• $-1>2$ — неверно;
• $0>2$ — неверно;
• $1>2$ — неверно;
• $2>2$ — неверно (нестрогое неравенство);
• $3>2$ — верно.

Ответ: $3$.