ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 73 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Дано: $m>n$. Покажите с числами и сделайте вывод о неравенствах, связывающих числа $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$. (Рассмотрите случаи: $m>0$ и $n>0$; $m<0$ и $n<0$; $m>0$ и $n<0$).

2) Дано: $m>n$, $p>m$, $q<n$ и все эти числа положительные.
Расположите в порядке возрастания числа: $\frac{1}{m}$, $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{p}$, $\frac{1}{q}$.

3) Оцените $\frac{1}{y}$ и $\frac{x}{y}$, если $9<x<10$ и $2<y<3$.

1. Найдем отношение $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$, если $m>n$:

При $m>0$ и $n>0$, например $m=3$ и $n=2$:
$\frac{1}{3}<\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1}{m}<\frac{1}{n}$;

При $m<0$ и $n<0$, например $m=-5$ и $n=-6$:
$\frac{1}{5}>\frac{1}{6}\Rightarrow -\frac{1}{5}<-\frac{1}{6}\Rightarrow \frac{1}{m}<\frac{1}{n}$;

При $m>0$ и $n<0$, например $m=2$ и $n=-4$:
$\frac{1}{2}>-\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{m}>\frac{1}{n}$;

2. Расположим числа $\frac{1}{m}$, $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{p}$, $\frac{1}{q}$ в порядке возрастания:
По условию $m>n$, $p>m$, $q<n$, то есть $p>m>n>q$, тогда:
$\frac{1}{p}<\frac{1}{m}<\frac{1}{n}<\frac{1}{q}$;
Ответ: $\frac{1}{p}$; $\frac{1}{m}$; $\frac{1}{n}$; $\frac{1}{q}$.

3. Оценим $\frac{1}{y}$ и $\frac{x}{y}$, если $9<x<10$ и $2<y<3$:
$\frac{1}{3}<\frac{1}{y}<\frac{1}{2}$;
$9\cdot \frac{1}{3}<x\cdot \frac{1}{y}<10\cdot \frac{1}{2}\Rightarrow 3<\frac{x}{y}<5$;
Значит: $\frac{x}{y}>\frac{1}{y}$.

1. Найдем отношение $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$, если $m>n$:

Случай 1: $m>0$ и $n>0$:

• Пусть $m=3$ и $n=2$. Тогда $m>n$, и нам нужно сравнить $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$. Мы знаем, что при $m>n$ и $m,n>0$, при обратных значениях это неравенство меняется в обратную сторону. То есть, если $m>n$, то $\frac{1}{m}$ будет меньше $\frac{1}{n}$. Проверим это с числами:

$$\frac{1}{3}<\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Таким образом, из этого следует:

$$\frac{1}{m}<\frac{1}{n}\mathrm{.}$$

Случай 2: $m<0$ и $n<0$:

• Пусть $m=-5$ и $n=-6$. Тогда $m<n$, но обе величины отрицательны. При взятии обратных чисел для отрицательных значений неравенство меняется на противоположное. Итак, если $m<n$ и оба числа отрицательные, то их обратные значения будут следовать тому же правилу, что и для положительных чисел. Проверим это:

$$\frac{1}{5}>\frac{1}{6}\mathrm{.}$$

Следовательно:

$$-\frac{1}{5}<-\frac{1}{6}\Rightarrow \frac{1}{m}<\frac{1}{n}\mathrm{.}$$

Случай 3: $m>0$ и $n<0$:

• Пусть $m=2$ и $n=-4$. Тогда $m>0$ и $n<0$. Поскольку $m>0$, то $\frac{1}{m}$ будет положительным числом, а $\frac{1}{n}$ отрицательным. Положительные числа всегда больше отрицательных, поэтому:

$$\frac{1}{2}>-\frac{1}{4}\mathrm{.}$$

Таким образом:

$$\frac{1}{m}>\frac{1}{n}\mathrm{.}$$

2. Расположим числа $\frac{1}{m}$, $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{p}$, $\frac{1}{q}$ в порядке возрастания:

• Из условия задачи $m>n$, $p>m$, $q<n$, то есть $p>m>n>q$. Плотность обратных чисел для положительных чисел будет идти в порядке убывания, так как меньшие значения $m$ и $n$ дают большие обратные значения. Таким образом:

$$\frac{1}{p}<\frac{1}{m}<\frac{1}{n}<\frac{1}{q}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{1}{p}$; $\frac{1}{m}$; $\frac{1}{n}$; $\frac{1}{q}$.

3. Оценим $\frac{1}{y}$ и $\frac{x}{y}$, если $9<x<10$ и $2<y<3$:

• Для оценки $\frac{1}{y}$, так как $2<y<3$, получаем:

$$\frac{1}{3}<\frac{1}{y}<\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Таким образом, $\frac{1}{y}$ находится в пределах:

$$0.33<\frac{1}{y}<\mathrm{0.5.}$$

• Для оценки $\frac{x}{y}$, так как $9<x<10$ и $2<y<3$, вычислим нижнюю и верхнюю границу для $\frac{x}{y}$:

$$\frac{9}{3}=3\text{и}\frac{10}{2}=5.$$

Таким образом, $\frac{x}{y}$ находится в пределах:

$$3<\frac{x}{y}<5.$$

Ответ: $\frac{x}{y}>\frac{1}{y}$.