ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 70 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Оцените площадь и периметр прямоугольного треугольника, катеты которого равны $\sqrt{3}$ см и $\sqrt{2}$ см. (Границы в ответе запишите в виде десятичных дробей с одним знаком после запятой.)

Катеты треугольника равны: $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$;

1)По теореме Пифагора найдем гипотенузу:
$\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{2 + 3} = \sqrt{5}$;

2)Границы сторон треугольника:
$1.4 < \sqrt{2} < 1.5$;
$1.7 < \sqrt{3} < 1.8$;
$2.2 < \sqrt{5} < 2.3$;

3)Определим площадь треугольника:
$1.4 \cdot 1.7 < \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} < 1.5 \cdot 1.8$;
$2.38 < \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} < 2.7$;
$2.38 \cdot \frac{1}{2} < \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} < 2.7 \cdot \frac{1}{2}$;
$1.19 < S < 1.35$;
$1.2 < S < 1.4$;

4)Определим периметр треугольника:
$1.4 + 1.7 + 2.2 < \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} < 1.5 + 1.8 + 2.3$;
$5.3 < P < 5.6$;

Ответ: $1.2 < S < 1.4$; $5.3 < P < 5.6$.

1)По теореме Пифагора найдем гипотенузу:

• По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника гипотенуза $c$ вычисляется как:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2},$$

где $a$ и $b$ — катеты треугольника. В нашем случае катеты равны $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$. Подставим эти значения в формулу для гипотенузы:

$$c = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{2 + 3} = \sqrt{5}.$$

Таким образом, гипотенуза треугольника равна $\sqrt{5}$.

2)Границы сторон треугольника:

• Для того чтобы найти границы значений сторон, воспользуемся тем, что $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$ лежат в определенных интервалах. Известно, что:

$$1.4 < \sqrt{2} < 1.5, \quad 1.7 < \sqrt{3} < 1.8, \quad 2.2 < \sqrt{5} < 2.3.$$

Эти границы позволяют оценить все стороны треугольника в числовом диапазоне.

3)Определим площадь треугольника:

• Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b,$$

где $a$ и $b$ — катеты треугольника. Подставим границы для $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$:

$$1.4 \cdot 1.7 < \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} < 1.5 \cdot 1.8,$$

получаем:

$$2.38 < \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} < 2.7.$$

Теперь вычислим площадь, умножив полученные значения на $\frac{1}{2}$:

$$2.38 \cdot \frac{1}{2} < \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} < 2.7 \cdot \frac{1}{2},$$

получаем:

$$1.19 < S < 1.35.$$

Таким образом, площадь треугольника находится в пределах:

$$1.2 < S < 1.4.$$

4)Определим периметр треугольника:

• Периметр прямоугольного треугольника вычисляется как сумма всех его сторон:

$$P = a + b + c.$$

Для нахождения границ периметра сложим соответствующие границы для $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$:

$$1.4 + 1.7 + 2.2 < \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} < 1.5 + 1.8 + 2.3,$$

получаем:

$$5.3 < P < 5.6.$$

Ответ: $1.2 < S < 1.4$; $5.3 < P < 5.6$.