ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 53 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сравните $a + b + c$ и $p + q + r$, если:

а) $a < p$, $b \geq q$, $c = r$;

б) $a \geq p$, $b = q$, $c > r$;

в) $a = p$, $b = q$, $c \leq r$.

Сравнить $a + b + c$ и $p + q + r$:

а) Если $a < p$, $b < q$, $c = r$:
$a + b + c < p + q + r$;

б) Если $a \geq p$, $b \geq q$, $c > r$:
$a + b + c > p + q + r$;

в) Если $a = p$, $b = q$, $c \leq r$:
$a + b + c \leq p + q + r$.

Сравним $a + b + c$ и $p + q + r$:

а) Исходное неравенство: $a < p$, $b < q$, $c = r$.

Начнем с того, что из условия $a < p$ мы знаем, что $a$ меньше $p$. Аналогично, $b < q$, что означает, что $b$ меньше $q$. При этом $c = r$, что позволяет нам заменить $c$ на $r$ в обеих частях неравенства. Таким образом, неравенство становится:

$$a + b + c < p + q + r$$

Развернем это неравенство по шагам. Если $a < p$, то можно написать:

$$a + b + c = (a + b) + c$$

Также можно записать:

$$p + q + r = (p + q) + r$$

Теперь, поскольку $a < p$ и $b < q$, то сумма $a + b$ обязательно будет меньше, чем сумма $p + q$. Это аналогично тому, что если два числа $a$ и $b$ меньше чем $p$ и $q$ соответственно, то их сумма будет меньше суммы $p + q$. При этом, поскольку $c = r$, оба числа равны, и их сумма не изменяет неравенства.

Таким образом, можно утверждать, что:

$$a + b + c < p + q + r$$

Ответ: $a + b + c < p + q + r$.

б) Исходное неравенство: $a \geq p$, $b \geq q$, $c > r$.

Теперь рассмотрим, когда $a \geq p$, $b \geq q$, и $c > r$. Мы начинаем с того, что $a \geq p$ означает, что $a$ больше или равно $p$, то есть:

$$a = p + \Delta_1, \quad \text{где } \Delta_1 \geq 0$$

Аналогично, $b \geq q$ означает:

$$b = q + \Delta_2, \quad \text{где } \Delta_2 \geq 0$$

И $c > r$ означает, что $c = r + \Delta_3$, где $\Delta_3 > 0$. Теперь сложим эти выражения:

$$a + b + c = (p + \Delta_1) + (q + \Delta_2) + (r + \Delta_3)$$

Это упрощается до:

$$a + b + c = p + q + r + \Delta_1 + \Delta_2 + \Delta_3$$

Теперь рассмотрим $p + q + r$, что очевидно меньше, чем $a + b + c$, поскольку $\Delta_1 + \Delta_2 + \Delta_3 > 0$. Это подтверждает, что:

$$a + b + c > p + q + r$$

Ответ: $a + b + c > p + q + r$.

в) Исходное неравенство: $a = p$, $b = q$, $c \leq r$.

Теперь рассмотрим случай, когда $a = p$, $b = q$, и $c \leq r$. Это означает, что $a$ равно $p$, а $b$ равно $q$. Таким образом, мы имеем:

$$a + b + c = p + q + c$$

Также имеем:

$$p + q + r$$

Поскольку $c \leq r$, то мы можем утверждать, что:

$$a + b + c \leq p + q + r$$

Таким образом, сумма $a + b + c$ не превосходит сумму $p + q + r$, так как $c$ меньше или равно $r$.

Ответ: $a + b + c \leq p + q + r$.