ГДЗ по Алгебре 9 Класс Учебник 📕 Дорофеев, Суворова — Все Части

Алгебра

9 класс учебник Дорофеев

9 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Авторы

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 9-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

Что выделяет этот учебник среди других:

Понятное изложение материала. Каждая тема объясняется простым и доступным языком, что облегчает понимание даже сложных понятий.
Большое количество примеров и задач. Учебник предлагает разнообразные упражнения — от простых до более сложных, что помогает закрепить пройденный материал.
Интерактивный подход. В книге есть задания, которые побуждают учеников к самостоятельному поиску решений и развитию творческого мышления.
Связь с реальной жизнью. Многие задачи связаны с практическими ситуациями, что делает математику более живой и понятной.
Разнообразие форм подачи информации. Здесь используются таблицы, схемы, иллюстрации, что помогает лучше усваивать материал и удерживать внимание учащихся.

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 50 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Запишите с помощью букв следующие свойства неравенств для знаков $>, \leq, \geq$ :

а) О сложении неравенств;

б) О умножении неравенств.

Краткий ответ:

а) О почленном сложении неравенств:

1) Если $a > b$ и $c > d$ , то $a + c > b + d$ ;

2) Если $a \leq b$ и $c \leq d$ , то $a + c \leq b + d$ ;

3) Если $a \geq b$ и $c \geq d$ , то $a + c \geq b + d$ ;

б) О почленном умножении неравенств:

1) Если $a > b$ и $c > d$ , то $a c > b d$ ;

2) Если $a \leq b$ и $c \leq d$ , то $a c \leq b d$ ;

3) Если $a \geq b$ и $c \geq d$ , то $a c \geq b d$ ;

Примечание: числа $a, b, c, d$ — положительные.

Подробный ответ:

а) О почленном сложении неравенств:

1) Пусть даны два неравенства $a > b$ и $c > d$ . Мы хотим показать, что сумма этих неравенств также сохраняет знак. То есть, если $a > b$ и $c > d$ , то:

$a + c > b + d$

Давайте рассмотрим это более детально. Если $a > b$ , это означает, что разница $a - b$ положительна, то есть:

$a - b > 0$

Если $c > d$ , то разница $c - d$ также положительна:

$c - d > 0$

Теперь, когда мы прибавляем $c$ и $d$ к обеим частям соответствующих неравенств, мы получаем:

$a + c > b + d$

Это очевидно, потому что если $a$ больше $b$ и $c$ больше $d$ , то сумма $a + c$ будет больше суммы $b + d$ .

Ответ: $a + c > b + d$ .

2) Рассмотрим второй случай, когда даны два неравенства $a \leq b$ и $c \leq d$ . Мы хотим доказать, что:

$a + c \leq b + d$

Если $a \leq b$ , то разница $b - a$ является неотрицательной:

$b - a \geq 0$

Если $c \leq d$ , то разница $d - c$ также неотрицательная:

$d - c \geq 0$

Теперь, когда мы прибавляем $c$ и $d$ к обеим частям неравенств, это не изменяет их соотношения. Получаем:

$a + c \leq b + d$

Это тоже верно, так как если $a \leq b$ и $c \leq d$ , то сумма $a + c$ будет меньше или равна сумме $b + d$ .

Ответ: $a + c \leq b + d$ .

3) Теперь рассмотрим третий случай, когда даны два неравенства $a \geq b$ и $c \geq d$ . Мы хотим показать, что:

$a + c \geq b + d$

Если $a \geq b$ , то разница $a - b$ неотрицательна:

$a - b \geq 0$

Если $c \geq d$ , то разница $c - d$ неотрицательна:

$c - d \geq 0$

После прибавления $c$ и $d$ к обеим частям неравенств, неравенство сохраняется. Получаем:

$a + c \geq b + d$

Ответ: $a + c \geq b + d$ .

б) О почленном умножении неравенств:

1) Пусть даны два неравенства $a > b$ и $c > d$ . Мы хотим показать, что при умножении этих неравенств на положительные числа результат будет таким же. То есть, если $a > b$ и $c > d$ , то:

$a c > b d$

Рассмотрим это более подробно. Если $a > b$ , это означает, что $a$ больше $b$ . Аналогично, если $c > d$ , то $c$ больше $d$ . Теперь, умножив $a$ на $c$ и $b$ на $d$ , мы получаем:

$a c > b d$

Это верно, так как умножение двух положительных чисел сохраняет знак неравенства.

Ответ: $a c > b d$ .

2) Теперь рассмотрим случай, когда $a > b$ и $c < d$ . Мы хотим показать, что:

$a c < b d$

Если $a > b$ , это означает, что $a$ больше $b$ . Если $c < d$ , то $c$ меньше $d$ . Умножив $a$ на $c$ и $b$ на $d$ , так как одно из чисел отрицательное, знак неравенства изменится:

$a c < b d$

Это верно, так как умножение на отрицательное число инвертирует знак неравенства.

Ответ: $a c < b d$ .

3) Рассмотрим следующий случай, когда $a \leq b$ и $c > d$ . Мы хотим показать, что:

$a c \leq b d$

Если $a \leq b$ , то разница $b - a$ неотрицательная. Если $c > d$ , то разница $c - d$ положительная. Умножив обе части на $c$ и $d$ , мы получаем:

$a c \leq b d$

Это верно, так как умножение на положительные числа сохраняет порядок чисел.

Ответ: $a c \leq b d$ .

Теперь рассмотрим случай, когда $a \leq b$ и $c < d$ . Мы хотим показать, что:

$a c \geq b d$

Если $a \leq b$ , то разница $b - a$ неотрицательная. Если $c < d$ , то разница $c - d$ отрицательная. Умножив обе части на $c$ и $d$ , знак неравенства инвертируется:

$a c \geq b d$

Это верно, так как умножение на отрицательное число инвертирует знак неравенства.

Ответ: $a c \geq b d$ .

Рассмотрим случай, когда $a \geq b$ и $c > d$ . Мы хотим показать, что:

$a c \geq b d$

Если $a \geq b$ , то разница $a - b$ неотрицательная. Если $c > d$ , то разница $c - d$ положительная. Умножив обе части на $c$ и $d$ , мы получаем:

$a c \geq b d$

Это верно, так как умножение на положительные числа сохраняет порядок чисел.

Ответ: $a c \geq b d$ .

Рассмотрим последний случай, когда $a \geq b$ и $c < d$ . Мы хотим показать, что:

$a c \leq b d$

Если $a \geq b$ , то разница $a - b$ неотрицательная. Если $c < d$ , то разница $c - d$ отрицательная. Умножив обе части на $c$ и $d$ , знак неравенства инвертируется:

$a c \leq b d$

Это верно, так как умножение на отрицательное число инвертирует знак неравенства.

Ответ: $a c \leq b d$ .

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра