ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 45 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Известно, что $a + 8 \leq b + 8$. Объясните, почему верно неравенство:

а) $a \leq b$;
б) $a + 6 \leq b + 6$;
в) $a — 1 \leq b — 1$;
г) $a — b \leq 0$.

Неравенство: $a + 8 \leq b + 8$;

а) Вычтем из обеих частей неравенства число 8, получим:
$a \leq b$;

б) Вычтем из обеих частей неравенства число 2, получим:
$a + 6 \leq b + 6$;

в) Вычтем из обеих частей неравенства число 9, получим:
$a — 1 \leq b — 1$;

г) Вычтем из обеих частей неравенства число $(b + 8)$, получим:
$a + 8 — (b + 8) \leq b + 8 — (b + 8) \quad \Rightarrow \quad a — b \leq 0$.

Неравенство: $a + 8 \leq b + 8$;

а) Для того чтобы понять, почему верно неравенство $a \leq b$, рассмотрим следующее. Начнем с исходного неравенства:

$$a + 8 \leq b + 8$$

Мы можем вычесть 8 из обеих частей этого неравенства, так как вычитание одного и того же числа из обеих частей неравенства сохраняет его истинность. Таким образом, получаем:

$$a + 8 — 8 \leq b + 8 — 8$$

Упрощаем обе стороны:

$$a \leq b$$

Это и есть требуемое неравенство. Мы можем утверждать, что если $a + 8 \leq b + 8$, то $a \leq b$, так как вычитание одинакового числа не влияет на отношения между числами.

Ответ: $a \leq b$.

б) Рассмотрим теперь, почему верно неравенство $a + 6 \leq b + 6$, если исходно дано $a + 8 \leq b + 8$. Мы знаем, что из исходного неравенства ( a + 8 \leq b + 8 \ мы можем вычесть 2 из обеих частей неравенства. Процесс вычитания одинакового числа из обеих частей сохраняет истинность неравенства, как мы уже видели в предыдущем шаге. Выполняем вычитание:

$$a + 8 — 2 \leq b + 8 — 2$$

Упрощаем обе стороны:

$$a + 6 \leq b + 6$$

Это и есть требуемое неравенство. Мы видим, что если $a + 8 \leq b + 8$, то $a + 6 \leq b + 6$, так как вычитание одинакового числа из обеих частей неравенства также сохраняет его истинность.

Ответ: $a + 6 \leq b + 6$.

в) Теперь рассмотрим, что произойдёт, если мы вычитаем 9 из обеих частей исходного неравенства. Исходно у нас есть:

$$a + 8 \leq b + 8$$

Теперь вычитаем 9 из обеих частей:

$$a + 8 — 9 \leq b + 8 — 9$$

Упрощаем обе стороны:

$$a — 1 \leq b — 1$$

Это и есть требуемое неравенство. Вычитание одинакового числа (в данном случае 9) из обеих частей неравенства сохраняет его истинность, как и в предыдущих случаях.

Ответ: $a — 1 \leq b — 1$.

г) Рассмотрим, что произойдёт, если мы вычитаем $(b + 8)$ из обеих частей исходного неравенства. Исходно у нас есть:

$$a + 8 \leq b + 8$$

Теперь вычитаем $(b + 8)$ из обеих частей:

$$a + 8 — (b + 8) \leq b + 8 — (b + 8)$$

Упрощаем обе стороны:

$$a + 8 — b — 8 \leq 0$$

После упрощения получаем:

$$a — b \leq 0$$

Это и есть требуемое неравенство. Мы видим, что если из обеих частей неравенства $a + 8 \leq b + 8$ вычесть $(b + 8)$, то мы получаем $a — b \leq 0$, что является эквивалентом $a \leq b$, как мы и ожидали.

Ответ: $a — b \leq 0$.