ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 34 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Установите, относительно каких арифметических операций замкнуто данное множество:

а) $2^1; \, 2^2; \, 2^3; \, \ldots; \, 2^n; \, \ldots$, где $n$ — натуральное число;

б) множество четных чисел;

в) множество нечетных чисел;

г) множество чисел вида $a + b\sqrt{2}$, где $a$ и $b$ — целые числа.

а) Множество: $2^1; \, 2^2; \, 2^3; \, \ldots$, где $n$ — натуральное число;

1)При умножении чисел с одинаковым основанием их степени складываются;

2)Так как натуральные числа замкнуты относительно операции сложения, то произведением любых чисел из данного множества будет число с основанием 2 и натуральной степенью, то есть оно будет входить в изначальное множество;
Ответ: замкнуто относительно операции умножения.

б) Множество четных чисел:
Ответ: замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.

в) Множество нечетных чисел:
Ответ: замкнуто относительно операции умножения.

г) Множество чисел: $a + b\sqrt{2}$; где $a$ и $b$ — целые числа:

$(a_1 + b_1\sqrt{2}) + (a_2 + b_2\sqrt{2}) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{2}$;

$(a_1 + b_1\sqrt{2}) — (a_2 + b_2\sqrt{2}) = (a_1 — a_2) + (b_1 — b_2)\sqrt{2}$;

$(a_1 + b_1\sqrt{2})(a_2 + b_2\sqrt{2}) = a_1a_2 + a_1b_2\sqrt{2} + a_2b_1\sqrt{2} + 2b_1b_2 =$
$= (a_1a_2 + 2b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)\sqrt{2}$;

4)Так как целые числа замкнуты относительно операций сложения, вычитания и умножения, то выражения в скобках являются целыми, значит полученные числа входят в изначальное множество;
Ответ: замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.

а) Рассмотрим множество степеней числа 2, заданное выражением:

$$2^1; \, 2^2; \, 2^3; \, \ldots; \, 2^n; \, \ldots$$

где $n$ — натуральное число. Это множество состоит из степеней числа 2 с натуральными показателями. Например, для $n = 1$ имеем $2^1 = 2$, для $n = 2$ — $2^2 = 4$, для $n = 3$ — $2^3 = 8$ и так далее.

Рассмотрим операцию умножения чисел с одинаковым основанием. Если мы умножаем два числа, которые принадлежат этому множеству, например, $2^a$ и $2^b$, то, согласно свойствам степеней с одинаковым основанием, результат будет равен $2^{a+b}$, то есть степени основание остается тем же, а показатели складываются:

$$2^a \cdot 2^b = 2^{a + b}$$

Так как натуральные числа замкнуты относительно операции сложения, то при любом выборе $a$ и $b$, их сумма $a + b$ будет также натуральным числом. Следовательно, результат умножения чисел из этого множества будет числом с основанием 2 и натуральным показателем степени, то есть результат будет вновь принадлежать этому множеству. Таким образом, множество степеней числа 2 с натуральными показателями замкнуто относительно операции умножения.

Ответ: замкнуто относительно операции умножения.

б) Рассмотрим множество четных чисел. Четные числа могут быть записаны в виде $2k$, где $k$ — целое число. Это множество состоит из всех чисел, которые делятся на 2. Рассмотрим операции сложения, вычитания и умножения для элементов множества четных чисел.

При сложении двух четных чисел, например, $2k_1$ и $2k_2$, результат будет равен:

$$2k_1 + 2k_2 = 2(k_1 + k_2)$$

Так как сумма двух целых чисел $k_1 + k_2$ также является целым числом, то результат снова является четным числом, то есть результат принадлежит тому же множеству четных чисел.

При вычитании двух четных чисел, например, $2k_1 — 2k_2$, результат будет равен:

$$2k_1 — 2k_2 = 2(k_1 — k_2)$$

Сумма $k_1 — k_2$ также является целым числом, и результат вычитания будет четным числом, что означает, что результат опять принадлежит множеству четных чисел.

При умножении двух четных чисел, например, $2k_1 \cdot 2k_2$, результат будет:

$$2k_1 \cdot 2k_2 = 4k_1k_2 = 2(2k_1k_2)$$

Результат умножения также будет четным числом, так как результат является числом, которое делится на 2, следовательно, результат снова принадлежит множеству четных чисел.

Ответ: замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.

в) Рассмотрим множество нечетных чисел. Нечетные числа можно записать в виде $2k + 1$, где $k$ — целое число. Это множество состоит из всех чисел, которые при делении на 2 дают остаток 1. Рассмотрим операцию умножения для двух нечетных чисел.

При умножении двух нечетных чисел, например, $(2k_1 + 1)$ и $(2k_2 + 1)$, результат будет равен:

$$(2k_1 + 1) \cdot (2k_2 + 1) = 4k_1k_2 + 2k_1 + 2k_2 + 1$$

Это выражение можно представить как:

$$2(2k_1k_2 + k_1 + k_2) + 1$$

Таким образом, результат умножения двух нечетных чисел снова будет нечетным числом, так как оно можно представить в виде $2m + 1$, где $m$ — целое число. Следовательно, результат умножения двух нечетных чисел всегда будет нечетным числом.

Ответ: замкнуто относительно операции умножения.

г) Рассмотрим множество чисел вида $a + b\sqrt{2}$, где $a$ и $b$ — целые числа. Это множество состоит из чисел, которые можно записать как сумму целого числа и целого числа, умноженного на $\sqrt{2}$. Рассмотрим операции сложения, вычитания и умножения для таких чисел.

При сложении двух чисел из этого множества, например, $(a_1 + b_1\sqrt{2})$ и $(a_2 + b_2\sqrt{2})$, результат будет равен:

$$(a_1 + b_1\sqrt{2}) + (a_2 + b_2\sqrt{2}) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{2}$$

Так как $a_1 + a_2$ и $b_1 + b_2$ — целые числа, то результат является числом вида $a + b\sqrt{2}$, где $a$ и $b$ — целые числа. Следовательно, результат сложения двух чисел из этого множества будет также принадлежать этому множеству.

При вычитании двух чисел из этого множества, например, $(a_1 + b_1\sqrt{2})$ и $(a_2 + b_2\sqrt{2})$, результат будет равен:

$$(a_1 + b_1\sqrt{2}) — (a_2 + b_2\sqrt{2}) = (a_1 — a_2) + (b_1 — b_2)\sqrt{2}$$

Так как $a_1 — a_2$ и $b_1 — b_2$ — целые числа, то результат вычитания также принадлежит множеству чисел вида $a + b\sqrt{2}$, где $a$ и $b$ — целые числа.

При умножении двух чисел из этого множества, например, $(a_1 + b_1\sqrt{2})$ и $(a_2 + b_2\sqrt{2})$, результат будет равен:

$$(a_1 + b_1\sqrt{2})(a_2 + b_2\sqrt{2}) = a_1a_2 + a_1b_2\sqrt{2} + a_2b_1\sqrt{2} + b_1b_2\cdot 2$$

Это выражение можно записать как:

$$(a_1a_2 + 2b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)\sqrt{2}$$

Так как $a_1a_2 + 2b_1b_2$ и $a_1b_2 + a_2b_1$ — целые числа, то результат умножения будет числом вида $a + b\sqrt{2}$, где $a$ и $b$ — целые числа.

Ответ: замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.