ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 32 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции

$y=-\frac{1}{\sqrt{2}x}$.

а) Проходит ли график этой функции хотя бы через одну точку, обе координаты которой являются рациональными числами?

б) Найдите координаты точек графика, у которых абсцисса и ордината являются противоположными числами.

$y=-\frac{1}{\sqrt{2}x}$;

График функции — гипербола во II и IV четвертях:

Рассмотрим функцию:

$$y=-\frac{1}{\sqrt{2}x}$$

Эта функция задает гиперболу. Чтобы понять, как она выглядит на графике, важно отметить, что при $x>0$ и $x<0$ значения $y$ будут иметь противоположные знаки. Давайте рассмотрим поведение графика функции. Эта гипербола будет располагаться в I и III четвертях, так как при положительном $x$ значение $y$ будет отрицательным, а при отрицательном $x$ значение $y$ будет также отрицательным. Для определения того, пересекает ли график функции оси, важно рассмотреть точку, где $x=0$, однако в данной функции значение $y$ будет бесконечным, так как деление на ноль невозможно. Таким образом, гипербола не будет пересекать оси $x$ и $y$, а будет только располагаться в указанных четвертях.

Теперь рассмотрим таблицу значений функции:

Из таблицы видно, что значения функции $y=-\frac{1}{\sqrt{2}x}$ для положительных значений $x$ дают отрицательные значения $y$, что соответствует расположению графика в IV четверти.

Рассмотрим теперь вопрос, касающийся рациональности чисел.

а) Пусть $x$ и $y$ — рациональные числа. Тогда из уравнения функции получаем:

$$y=-\frac{1}{\sqrt{2}x}$$

Умножим обе стороны на $x$:

$$xy=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Получаем, что произведение $xy$ равно $-\frac{1}{\sqrt{2}}$. Однако $\frac{1}{\sqrt{2}}$ является иррациональным числом, так как $\sqrt{2}$ — иррационально, следовательно $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ также иррационально. Это приводит к противоречию, так как произведение двух рациональных чисел не может быть иррациональным. Следовательно, график функции не может проходить через точку, где обе координаты $x$ и $y$ являются рациональными числами.

Теперь рассмотрим случай, когда $x=-y$. Подставим это в уравнение функции:

$$y=-\frac{1}{\sqrt{2}(-y)}=\frac{1}{\sqrt{2}y}$$

Умножим обе части на $y$:

$$y^2=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$y=\pm \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}}$$

Таким образом, $y$ и $x$ равны $\pm \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}}$. Эти значения могут быть записаны как:

$$(\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}},\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}})\text{и}(-\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}},-\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}})$$

Это точки на графике, где абсцисса и ордината равны противоположным числам.