ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 30 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} — \sqrt{3}} — \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$;
б) $\frac{\sqrt{2} — \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{7}} — \frac{\sqrt{2} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} — \sqrt{7}}$;
в) $\frac{\sqrt{8} — 3}{2\sqrt{2} + 3} + \frac{\sqrt{8} + 3}{2\sqrt{2} — 3}$;
г) $2 — \sqrt{3} + \frac{8}{2 + \sqrt{3}}$;
д) $\sqrt{(2 — 3\sqrt{2})^2} — 2\sqrt{2}$;
е) $2\sqrt{5} — \sqrt{(1 — 2\sqrt{5})^2}$.

а)

$$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}\cdot (\sqrt{5}+\sqrt{3})-\sqrt{3}\cdot (\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})\cdot (\sqrt{5}+\sqrt{3})}=$$

$$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} — \sqrt{3}} — \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{3}) — \sqrt{3} \cdot (\sqrt{5} — \sqrt{3})}{(\sqrt{5} — \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{3})} =$$ $$= \frac{5 + \sqrt{15} — \sqrt{15} + 3}{(\sqrt{5})^2 — (\sqrt{3})^2} = \frac{8}{5 — 3} = \frac{8}{2} = 4;$$

б)

$$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{7}}-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{7}}=\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{7}{)}^2-(\sqrt{2}+\sqrt{7}{)}^2}{(\sqrt{2}+\sqrt{7})\cdot (\sqrt{2}-\sqrt{7})}=$$

$$\frac{\sqrt{2} — \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{7}} — \frac{\sqrt{2} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} — \sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{2} — \sqrt{7})^2 — (\sqrt{2} + \sqrt{7})^2}{(\sqrt{2} + \sqrt{7}) \cdot (\sqrt{2} — \sqrt{7})} =$$ $$= \frac{2 — 2\sqrt{14} + 7 — 2 — 2\sqrt{14} — 7}{(\sqrt{2})^2 — (\sqrt{7})^2} = \frac{-4\sqrt{14}}{2 — 7} = \frac{4\sqrt{14}}{5};$$

в)

$$\frac{\sqrt{8}-3}{2\sqrt{2}+3}+\frac{\sqrt{8}+3}{2\sqrt{2}-3}=\frac{(\sqrt{8}-3)(2\sqrt{2}-3)+(\sqrt{8}+3)(2\sqrt{2}+3)}{(2\sqrt{2}+3)(2\sqrt{2}-3)}=$$

$$\frac{\sqrt{8} — 3}{2\sqrt{2} + 3} + \frac{\sqrt{8} + 3}{2\sqrt{2} — 3} = \frac{(\sqrt{8} — 3)(2\sqrt{2} — 3) + (\sqrt{8} + 3)(2\sqrt{2} + 3)}{(2\sqrt{2} + 3)(2\sqrt{2} — 3)} =$$ $$=\frac{2\sqrt{16}-3\sqrt{8}-6\sqrt{2}+9+2\sqrt{16}+3\sqrt{8}+6\sqrt{2}+9}{(2\sqrt{2}{)}^2-3^2}=\frac{4\sqrt{16}+18}{4\cdot 2-9}=$$

$$= \frac{2\sqrt{16} — 3\sqrt{8} — 6\sqrt{2} + 9 + 2\sqrt{16} + 3\sqrt{8} + 6\sqrt{2} + 9}{(2\sqrt{2})^2 — 3^2} = \frac{4\sqrt{16} + 18}{4 \cdot 2 — 9} =$$ $$= \frac{4 \cdot 4 + 18}{-1} = -34;$$

г)

$$2-\sqrt{3}+\frac{8}{2+\sqrt{3}}=\frac{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})+8}{2+\sqrt{3}}=\frac{2^2-(\sqrt{3}{)}^2+8}{2+\sqrt{3}}=$$

$$2 — \sqrt{3} + \frac{8}{2 + \sqrt{3}} = \frac{(2 — \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) + 8}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2^2 — (\sqrt{3})^2 + 8}{2 + \sqrt{3}} =$$ $$= \frac{4 — 3 + 8}{2 + \sqrt{3}} = \frac{9}{2 + \sqrt{3}};$$

д)

$$\sqrt{(2 — 3\sqrt{2})^2} — 2\sqrt{2} = |2 — 3\sqrt{2}| — 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} — 2 — 2\sqrt{2} = \sqrt{2} — 2;$$

е)

$$2\sqrt{5} — \sqrt{(1 — 2\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{5} — |1 — 2\sqrt{2}| = 2\sqrt{5} — (2\sqrt{5} — 1) =$$ $$= 2\sqrt{5} — 2\sqrt{5} + 1 = 1.$$

а) Рассмотрим выражение:

$$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} — \sqrt{3}} — \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$$

Для упрощения сложим обе дроби. Сначала приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} — \sqrt{3}}$ и $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ будет произведением $(\sqrt{5} — \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})$. Используем формулу разности квадратов:

$$(\sqrt{5})^2 — (\sqrt{3})^2 = 5 — 3 = 2$$

Теперь числители дробей умножим на соответствующие сопряженные выражения. Первая дробь умножается на $\sqrt{5} + \sqrt{3}$, а вторая дробь — на $\sqrt{5} — \sqrt{3}$. Тогда получаем:

$$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} — \sqrt{3}} — \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} + \sqrt{3}) — \sqrt{3}(\sqrt{5} — \sqrt{3})}{2}$$

Теперь раскроем скобки в числителе:

$$\sqrt{5}(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = 5 + \sqrt{15}, \quad \sqrt{3}(\sqrt{5} — \sqrt{3}) = \sqrt{15} — 3$$

Таким образом, числитель:

$$5 + \sqrt{15} — (\sqrt{15} — 3) = 5 + \sqrt{15} — \sqrt{15} + 3 = 8$$

Знаменатель равен 2, так что итоговое выражение:

$$\frac{8}{2} = 4$$

б) Теперь рассмотрим следующее выражение:

$$\frac{\sqrt{2} — \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{7}} — \frac{\sqrt{2} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} — \sqrt{7}}$$

Применим метод, аналогичный предыдущему примеру, и сначала приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{\sqrt{2} — \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{7}}$ и $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} — \sqrt{7}}$ будет $(\sqrt{2} + \sqrt{7})(\sqrt{2} — \sqrt{7})$, что также по формуле разности квадратов дает:

$$(\sqrt{2})^2 — (\sqrt{7})^2 = 2 — 7 = -5$$

Теперь числители дробей умножим на сопряженные выражения. Первая дробь умножается на $\sqrt{2} — \sqrt{7}$, а вторая дробь — на $\sqrt{2} + \sqrt{7}$. Тогда получаем:

$$\frac{\sqrt{2} — \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{7}} — \frac{\sqrt{2} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} — \sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{2} — \sqrt{7})^2 — (\sqrt{2} + \sqrt{7})^2}{-5}$$

Теперь раскроем квадраты в числителе:

$$(\sqrt{2} — \sqrt{7})^2 = 2 — 2\sqrt{14} + 7 = 9 — 2\sqrt{14}, \quad (\sqrt{2} + \sqrt{7})^2 = 2 + 2\sqrt{14} + 7 = 9 + 2\sqrt{14}$$

Теперь числитель:

$$(9 — 2\sqrt{14}) — (9 + 2\sqrt{14}) = 9 — 2\sqrt{14} — 9 — 2\sqrt{14} = -4\sqrt{14}$$

Таким образом, выражение:

$$\frac{-4\sqrt{14}}{-5} = \frac{4\sqrt{14}}{5}$$

в) Теперь рассмотрим следующее выражение:

$$\frac{\sqrt{8} — 3}{2\sqrt{2} + 3} + \frac{\sqrt{8} + 3}{2\sqrt{2} — 3}$$

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{\sqrt{8} — 3}{2\sqrt{2} + 3}$ и $\frac{\sqrt{8} + 3}{2\sqrt{2} — 3}$ будет $(2\sqrt{2} + 3)(2\sqrt{2} — 3)$, что по формуле разности квадратов даст:

$$(2\sqrt{2})^2 — 3^2 = 8 — 9 = -1$$

Теперь числители дробей умножим на сопряженные выражения. Первая дробь умножается на $2\sqrt{2} — 3$, а вторая дробь — на $2\sqrt{2} + 3$. Получаем:

$$\frac{(\sqrt{8} — 3)(2\sqrt{2} — 3) + (\sqrt{8} + 3)(2\sqrt{2} + 3)}{-1}$$

Теперь раскроем скобки и упростим. Сначала $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, так что:

$$(\sqrt{8} — 3)(2\sqrt{2} — 3) = (2\sqrt{2} — 3)(2\sqrt{2} — 3) = 4\cdot2 — 6\sqrt{2} — 6\sqrt{2} + 9 = 8 — 12\sqrt{2} + 9 = 17 — 12\sqrt{2}$$

Теперь для второй части:

$$(\sqrt{8} + 3)(2\sqrt{2} + 3) = (2\sqrt{2} + 3)(2\sqrt{2} + 3) = 4\cdot2 + 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 9 = 8 + 12\sqrt{2} + 9 = 17 + 12\sqrt{2}$$

Теперь сложим эти два выражения:

$$(17 — 12\sqrt{2}) + (17 + 12\sqrt{2}) = 34$$

Таким образом:

$$\frac{34}{-1} = -34$$

г) Теперь рассмотрим выражение:

$$2 — \sqrt{3} + \frac{8}{2 + \sqrt{3}}$$

Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель для выражений $2 — \sqrt{3}$ и $\frac{8}{2 + \sqrt{3}}$ будет $2 + \sqrt{3}$, так что:

$$2 — \sqrt{3} + \frac{8}{2 + \sqrt{3}} = \frac{(2 — \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) + 8}{2 + \sqrt{3}}$$

Теперь раскроем скобки в числителе:

$$(2 — \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 — (\sqrt{3})^2 = 4 — 3 = 1$$

Таким образом, числитель:

$$1 + 8 = 9$$

Знаменатель остается $2 + \sqrt{3}$, так что итоговое выражение:

$$\frac{9}{2 + \sqrt{3}}$$

д) Теперь рассмотрим выражение:

$$\sqrt{(2 — 3\sqrt{2})^2} — 2\sqrt{2}$$

Так как $\sqrt{a^2} = |a|$, то:

$$\sqrt{(2 — 3\sqrt{2})^2} = |2 — 3\sqrt{2}|$$

Теперь вычислим $2 — 3\sqrt{2}$. Поскольку $3\sqrt{2} \approx 4.242$, то:

$$2 — 3\sqrt{2} \approx 2 — 4.242 = -2.242$$

Таким образом:

$$|2 — 3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2} — 2$$

Теперь подставим это в выражение:

$$3\sqrt{2} — 2 — 2\sqrt{2} = \sqrt{2} — 2$$

е) Теперь рассмотрим выражение:

$$2\sqrt{5} — \sqrt{(1 — 2\sqrt{2})^2}$$

Так как $\sqrt{a^2} = |a|$, то:

$$\sqrt{(1 — 2\sqrt{2})^2} = |1 — 2\sqrt{2}|$$

Теперь вычислим $1 — 2\sqrt{2}$. Поскольку $2\sqrt{2} \approx 2.828$, то:

$$1 — 2\sqrt{2} \approx 1 — 2.828 = -1.828$$

Таким образом:

$$|1 — 2\sqrt{2}| = 2\sqrt{5} — 1$$

Теперь подставим это в выражение:

$$2\sqrt{5}-(2\sqrt{5}-1)=2\sqrt{5}-2\sqrt{5}+1=1$$