ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1)Какое из равенств верно:
$\mathrm{\mid }2-\sqrt{5}\mathrm{\mid }=2-\sqrt{5}$ или $\mathrm{\mid }2-\sqrt{5}\mathrm{\mid }=\sqrt{5}-2$?

2)Запишите без знака модуля:
а) $\mathrm{\mid }3-\sqrt{10}\mathrm{\mid }$;
б) $\mathrm{\mid }\sqrt{18}-4\mathrm{\mid }$;
в) $\mathrm{\mid }{\pi }^2-10\mathrm{\mid }$.

3)Упростите, используя равенство $\sqrt{a^2}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$:
а) $\sqrt{(1-\sqrt{2}{)}^2}$;
б) $\sqrt{(\sqrt{10}-\sqrt{15}{)}^2}$;
в) $\sqrt{(20-4{)}^2}$;
г) $\sqrt{(3-\pi {)}^2}$.

1)Какое из равенств верно:

$$|2 — \sqrt{5}| = 2 — \sqrt{5} \quad \text{или} \quad |2 — \sqrt{5}| = \sqrt{5} — 2;$$

Значение модуля всегда положительно;

$$\sqrt{5} > \sqrt{4}, \text{ значит } \sqrt{5} > 2, \text{ тогда: }$$ $$2 — \sqrt{5} < 0 \quad \text{и} \quad \sqrt{5} — 2 > 0;$$ $$|2 — \sqrt{5}| = \sqrt{5} — 2 \quad \text{— верное выражение;}$$

2)Записать без знака модуля:
а) $|3 — \sqrt{10}|$:

$$\sqrt{9} < \sqrt{10}, \text{ значит } 3 < \sqrt{10}, \text{ тогда: } \sqrt{10} — 3 > 0;$$ $$|3 — \sqrt{10}| = \sqrt{10} — 3;$$

б) $|\sqrt{18} — 4|$:

$$\sqrt{18} > \sqrt{16}, \text{ значит } \sqrt{18} > 4, \text{ тогда: } \sqrt{18} — 4 > 0;$$ $$|\sqrt{18} — 4| = \sqrt{18} — 4;$$

в) $|\pi^2 — 10|$:

$$\pi^2 \approx 3,14^2 \approx 9,85, \text{ значит } \pi^2 < 10, \text{ тогда: } 10 — \pi^2 > 0;$$ $$|\pi^2 — 10| = 10 — \pi^2;$$

3)Упростить, используя равенство $\sqrt{a^2} = |a|$:
а) $\sqrt{(1 — \sqrt{2})^2} = |1 — \sqrt{2}| = \sqrt{2} — 1;$
б) $\sqrt{(\sqrt{20} — 4)^2} = |\sqrt{20} — 4| = \sqrt{20} — 4;$
в) $\sqrt{(\sqrt{10} — \sqrt{15})^2} = |\sqrt{10} — \sqrt{15}| = \sqrt{15} — \sqrt{10};$
г) $\sqrt{(3 — \pi)^2} = |3 — \pi| = \pi — 3;$

1)Рассмотрим два выражения:
$\mathrm{\mid }2-\sqrt{5}\mathrm{\mid }=2-\sqrt{5}$ и $\mathrm{\mid }2-\sqrt{5}\mathrm{\mid }=\sqrt{5}-2$.

Знак модуля $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ определяет, что если $a$ — положительное число, то $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=a$, а если $a$ — отрицательное число, то $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=-a$.

В данном случае, вычислим $2-\sqrt{5}$. Поскольку $\sqrt{5}\approx 2.236$, то:

$$2-\sqrt{5}\approx 2-2.236=-0.236$$

Число $2-\sqrt{5}$ отрицательно, следовательно, $\mathrm{\mid }2-\sqrt{5}\mathrm{\mid }=-(2-\sqrt{5})=\sqrt{5}-2$.

Таким образом, верно равенство:

$$\mathrm{\mid }2-\sqrt{5}\mathrm{\mid }=\sqrt{5}-2$$

2)Запишем выражения без знака модуля. Рассмотрим:

а) $\mathrm{\mid }3-\sqrt{10}\mathrm{\mid }$.

Вычислим $3-\sqrt{10}$. Поскольку $\sqrt{10}\approx 3.162$, получаем:

$$3-\sqrt{10}\approx 3-3.162=-0.162$$

Число отрицательное, следовательно, $\mathrm{\mid }3-\sqrt{10}\mathrm{\mid }=-(3-\sqrt{10})=\sqrt{10}-3$.

б) $\mathrm{\mid }\sqrt{18}-4\mathrm{\mid }$.

Вычислим $\sqrt{18}$. Мы знаем, что $\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx 4.243$. Таким образом:

$$\sqrt{18}-4\approx 4.243-4=0.243$$

Число положительное, следовательно, $\mathrm{\mid }\sqrt{18}-4\mathrm{\mid }=\sqrt{18}-4$.

в) $\mathrm{\mid }{\pi }^2-10\mathrm{\mid }$.

Вычислим ${\pi }^2$. Мы знаем, что $\pi \approx 3.1416$, следовательно:

$${\pi }^2\approx 9.8696$$

Теперь вычислим разницу:

$${\pi }^2-10\approx 9.8696-10=-0.1304$$

Число отрицательное, следовательно, $\mathrm{\mid }{\pi }^2-10\mathrm{\mid }=-({\pi }^2-10)=10-{\pi }^2$.

3)Упростим выражения, используя равенство $\sqrt{a^2}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$.

а) $\sqrt{(1-\sqrt{2}{)}^2}$.

Для начала, раскроем квадрат:

$$(1-\sqrt{2}{)}^2=1^2-2\cdot 1\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2}{)}^2=1-2\sqrt{2}+2=3-2\sqrt{2}$$

Теперь применим $\sqrt{a^2}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$:

$$\sqrt{(1-\sqrt{2}{)}^2}=\mathrm{\mid }1-\sqrt{2}\mathrm{\mid }$$

Так как $1-\sqrt{2}$ отрицательно (поскольку $\sqrt{2}\approx 1.414$), то:

$$\mathrm{\mid }1-\sqrt{2}\mathrm{\mid }=\sqrt{2}-1$$

б) $\sqrt{(\sqrt{10}-\sqrt{15}{)}^2}$.

Рассмотрим квадрат:

$$(\sqrt{10}-\sqrt{15}{)}^2=(\sqrt{10}{)}^2-2\cdot \sqrt{10}\cdot \sqrt{15}+(\sqrt{15}{)}^2=10-2\sqrt{150}+15=25-2\sqrt{150}$$

Теперь применим $\sqrt{a^2}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$:

$$\sqrt{(\sqrt{10}-\sqrt{15}{)}^2}=\mathrm{\mid }\sqrt{10}-\sqrt{15}\mathrm{\mid }$$

Так как $\sqrt{10}\approx 3.162$ и $\sqrt{15}\approx 3.873$, то $\sqrt{10}-\sqrt{15}$ отрицательно. Следовательно:

$$\mathrm{\mid }\sqrt{10}-\sqrt{15}\mathrm{\mid }=\sqrt{15}-\sqrt{10}$$

в) $\sqrt{(20-4{)}^2}$.

Вычислим сначала разницу:

$$20-4=16$$

Теперь применим $\sqrt{a^2}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$:

$$\sqrt{(20-4{)}^2}=\mathrm{\mid }16\mathrm{\mid }=16$$

г) $\sqrt{(3-\pi {)}^2}$.

Вычислим разницу:

$$3-\pi \approx 3-3.1416=-0.1416$$

Теперь применим $\sqrt{a^2}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$:

$$\sqrt{(3-\pi {)}^2}=\mathrm{\mid }3-\pi \mathrm{\mid }=\pi -3$$