ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 28 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сравните:

а) $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$,
$-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{5}$;

б) $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$,
$-\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $-\frac{1}{\sqrt{5}}$;

в) $1-\sqrt{3}$ и $1-\sqrt{5}$,
$\frac{1}{1-\sqrt{3}}$ и $\frac{1}{1-\sqrt{5}}$;

г) $\sqrt{3}-1$ и $\sqrt{5}-1$,
$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}-1}$.

а) Рассмотрим два числа $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$, которые являются иррациональными числами. Мы знаем, что иррациональные числа не могут быть выражены в виде конечной или периодической десятичной дроби. Число $\sqrt{3}$ приближенно равно $1.732$, а $\sqrt{5}$ приближенно равно $2.236$. Следовательно, оба эти числа являются иррациональными. Рассмотрим теперь их противоположные числа $-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{5}$, которые также являются иррациональными, поскольку умножение на отрицательное число не влияет на иррациональность числа. Оба числа остаются иррациональными.

б) Рассмотрим дроби $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$. Так как $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$ — иррациональные числа, то их обратные значения также будут иррациональными. Это связано с тем, что деление рационального числа на иррациональное дает иррациональное число. То же самое верно и для чисел $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $-\frac{1}{\sqrt{5}}$, которые тоже будут иррациональными, поскольку отрицательное число не влияет на иррациональность.

в) Теперь рассмотрим выражения $1-\sqrt{3}$ и $1-\sqrt{5}$. Мы знаем, что $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$ — иррациональные числа, и вычитание рационального числа (в данном случае 1) из иррационального оставляет число иррациональным. То же самое касается выражений $\frac{1}{1-\sqrt{3}}$ и $\frac{1}{1-\sqrt{5}}$, где вычитание из единицы иррационального числа оставляет результат иррациональным, а затем деление рационального числа на иррациональное число снова дает иррациональное число.

г) Рассмотрим выражения $\sqrt{3}-1$ и $\sqrt{5}-1$. Как и в предыдущем случае, вычитание рационального числа из иррационального оставляет результат иррациональным. То же самое можно сказать для выражений $\frac{1}{\sqrt{3}-1}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}-1}$, где, несмотря на то что в числителе находится рациональное число (единица), в знаменателе находятся иррациональные числа, и деление рационального числа на иррациональное снова приводит к иррациональному числу.

а) Рассмотрим два числа $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$, которые являются иррациональными числами. Число $\sqrt{3}$ не может быть выражено в виде конечной или периодической десятичной дроби. Его приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1,732$, что подтверждает, что оно иррационально, так как не может быть точно выражено с конечным количеством цифр. Точно так же $\sqrt{5}$ является иррациональным числом, его приближенное значение $\sqrt{5} \approx 2,236$, и оно также не может быть выражено в виде конечной или периодической десятичной дроби.

Теперь рассмотрим их противоположные числа $-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{5}$. Умножение иррационального числа на отрицательное число не влияет на его иррациональность, то есть противоположные числа $-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{5}$ также будут иррациональными. Таким образом, $-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{5}$ — это также иррациональные числа.

б) Рассмотрим дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$. Здесь важно заметить, что 3 и 5 — это рациональные числа, так как они могут быть выражены в виде конечных дробей. Однако, утверждение, что их обратные значения будут иррациональными, является неверным. Дело в том, что при делении рационального числа на рациональное, результат всегда будет рациональным. Давайте рассмотрим:

$$\frac{1}{3} \quad \text{и} \quad \frac{1}{5}.$$

Эти числа являются конечными дробями, и их обратные значения, то есть $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$, являются рациональными. Так что они не являются иррациональными числами, как утверждается в вопросе.

б) Теперь рассмотрим $-\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{5}$. Опять-таки, поскольку числа 3 и 5 — рациональные, их обратные значения, $-\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{5}$, также будут рациональными числами, так как умножение на отрицательное число не меняет рациональность числа.

в) Рассмотрим выражения $1 — \sqrt{3}$ и $1 — \sqrt{5}$. Мы знаем, что $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$ — иррациональные числа. При вычитании рационального числа (в данном случае 1) из иррационального числа результат всегда остается иррациональным. Это объясняется тем, что разница между рациональным и иррациональным числом всегда будет иррациональной, так как любое рациональное число можно выразить в виде конечной или периодической десятичной дроби, а иррациональное число невозможно выразить так. То есть:

$$1 — \sqrt{3} \quad \text{и} \quad 1 — \sqrt{5}$$

оба являются иррациональными числами.

Теперь рассмотрим выражения $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$. Мы знаем, что $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$ — иррациональные числа. Когда мы делим рациональное число (в данном случае 1) на иррациональное число, результат всегда будет иррациональным, так как деление рационального числа на иррациональное число не может привести к рациональному числу. Следовательно:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{и} \quad \frac{1}{\sqrt{5}}$$

оба являются иррациональными числами.

г) Рассмотрим выражения $\sqrt{3} — 1$ и $\sqrt{5} — 1$. Здесь мы имеем дело с вычитанием рационального числа (1) из иррациональных чисел. Мы знаем, что вычитание рационального числа из иррационального числа оставляет результат иррациональным. То есть:

$$\sqrt{3} — 1 \quad \text{и} \quad \sqrt{5} — 1$$

оба являются иррациональными числами.

Теперь рассмотрим выражения $\frac{1}{\sqrt{3}} — 1$ и $\frac{1}{\sqrt{5}} — 1$. В данном случае в числителе находится рациональное число (единица), а в знаменателе иррациональные числа. При делении рационального числа на иррациональное результат остается иррациональным. Это также верно для вычитания рационального числа из иррационального числа. Следовательно:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} — 1 \quad \text{и} \quad \frac{1}{\sqrt{5}} — 1$$

оба будут иррациональными числами.