ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Приведите примеры, показывающие, что сумма, разность, произведение и частное двух иррациональных чисел могут
быть как иррациональным, так и рациональным числом. Замкнуто ли множество иррациональных чисел относительно какой-либо арифметической операции?

1) Числа $\sqrt{3}$ и $(5-\sqrt{3})$ — иррациональные, но их сумма:
$\sqrt{3}+(5-\sqrt{3})=5\text{— рациональное число;}$

2) Числа $\sqrt{8}$ и $(1+\sqrt{8})$ — иррациональные, но их разность:
$\sqrt{8}-(1+\sqrt{8})=-1\text{— рациональное число;}$

3) Числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{18}$ — иррациональные, но их произведение:
$\sqrt{2}\cdot \sqrt{18}=\sqrt{36}=6\text{— рациональное число;}$

4) Числа $\sqrt{50}$ и $\sqrt{2}$ — иррациональные числа, но их частное:
$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{25}=5\text{— рациональное число;}$

Из представленных нами примеров следует, что множество иррациональных чисел не замкнуто относительно какой-либо арифметической операции;

Ответ: не замкнуто.

1) Числа $\sqrt{3}$ и $(5-\sqrt{3})$ — иррациональные, но их сумма:
Рассмотрим два числа: $\sqrt{3}$, которое является иррациональным числом, и $5-\sqrt{3}$, которое также является иррациональным. Операция сложения этих чисел:

$$\sqrt{3}+(5-\sqrt{3})=\sqrt{3}+5-\sqrt{3}$$

Сложив подобные элементы, получаем:

$$\sqrt{3}-\sqrt{3}+5=0+5=5$$

Полученное число $5$ является рациональным, так как это целое число. Мы видим, что сумма двух иррациональных чисел, $\sqrt{3}$ и $5-\sqrt{3}$, в данном случае дала рациональное число. Это противоречит ожиданиям, так как арифметическая операция между иррациональными числами может иногда привести к рациональному числу. Это показывает, что множество иррациональных чисел не замкнуто относительно операции сложения.

2) Числа $\sqrt{8}$ и $(1+\sqrt{8})$ — иррациональные, но их разность:
Возьмем два иррациональных числа: $\sqrt{8}$, которое является иррациональным, и $1+\sqrt{8}$, которое также иррационально. Выполним операцию вычитания этих чисел:

$$\sqrt{8}-(1+\sqrt{8})=\sqrt{8}-1-\sqrt{8}$$

Сложив подобные элементы, получаем:

$$\sqrt{8}-\sqrt{8}-1=0-1=-1$$

Полученное число $-1$ является рациональным, так как это целое число. Несмотря на то, что исходные числа были иррациональными, их разность привела к рациональному числу. Это подтверждает тот факт, что множество иррациональных чисел не замкнуто относительно операции вычитания.

3) Числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{18}$ — иррациональные, но их произведение:
Теперь возьмем два иррациональных числа: $\sqrt{2}$ и $\sqrt{18}$. Выполним операцию умножения этих чисел:

$$\sqrt{2}\cdot \sqrt{18}=\sqrt{2\cdot 18}=\sqrt{36}$$

Так как $\sqrt{36}=6$, то получаем рациональное число $6$. Это подтверждает, что произведение двух иррациональных чисел может быть рациональным. Следовательно, множество иррациональных чисел не замкнуто относительно операции умножения.

4) Числа $\sqrt{50}$ и $\sqrt{2}$ — иррациональные числа, но их частное:
Теперь возьмем два иррациональных числа: $\sqrt{50}$ и $\sqrt{2}$. Выполним операцию деления этих чисел:

$$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}$$

Так как $\sqrt{25}=5$, то получаем рациональное число $5$. Это также подтверждает, что частное двух иррациональных чисел может быть рациональным. Таким образом, множество иррациональных чисел не замкнуто относительно операции деления.

Из представленных нами примеров следует, что множество иррациональных чисел не замкнуто относительно какой-либо арифметической операции, так как операции сложения, вычитания, умножения и деления двух иррациональных чисел могут привести как к рациональному, так и к иррациональному числу.