ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 267 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции:

$y = 2x^2 — 4x — 1$;

$y = x^2 + 2x — 4$;

$y = -x^2 + 6x — 7$;

$y = -2x^2 + 4x — 1$.

В каждом случае укажите нули функции, наименьшее (или наибольшее) значение функции.

а) $y = 2x^2 — 4x — 1$:

Координаты вершины параболы:
$x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;$
$y = \frac{4 \cdot 2 \cdot (-1) — (-4)^2}{4 \cdot 2} = \frac{-8 — 16}{8} = \frac{-24}{8} = -3;$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 2 & 3 \\ \hline y & 5 & -1 & -1 & 5 \\ \hline \end{array}$$

Нули функции:
$2x^2 — 4x — 1 = 0;$
$D = 4^2 + 4 \cdot 2 = 16 + 8 = 24; \text{ тогда: }$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = 1 \pm \frac{1}{2}\sqrt{6};$

Наименьшее значение: $y_{min} = -3$;

б) $y = x^2 + 2x — 4$:

Координаты вершины параболы:
$x = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1;$
$y = \frac{4 \cdot 1 \cdot (-4) — 2^2}{4 \cdot 1} = \frac{-16 — 4}{4} = \frac{-20}{4} = -5;$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 4 & -1 & -4 & -4 & -1 & 4 \\ \hline \end{array}$$

Нули функции:
$x^2 + 2x — 4 = 0;$
$D = 2^2 + 4 \cdot 4 = 4 + 16 = 20; \text{ тогда: }$
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5};$

Наименьшее значение: $y_{min} = -5$;

в) $y = -x^2 + 6x — 7$:

Координаты вершины параболы:
$x = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{2} = 3;$
$y = \frac{4 \cdot (-1) \cdot (-7) — 6^2}{4 \cdot (-1)} = \frac{28 — 36}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2;$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & -7 & -2 & 1 & 1 & -2 & -7 \\ \hline \end{array}$$

Нули функции:
$-x^2 + 6x — 7 = 0;$
$D = 6^2 — 4 \cdot 7 = 36 — 28 = 8; \text{ тогда: }$
$x = \frac{-6 \pm \sqrt{8}}{-2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{2}}{-2} = 3 \pm \sqrt{2};$

Наибольшее значение: $y_{max} = 2$;

г) $y = -2x^2 + 4x — 1$:

Координаты вершины параболы:
$x = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = \frac{4}{4} = 1;$
$y = \frac{4 \cdot (-2) \cdot (-1) — 4^2}{4 \cdot (-2)} = \frac{8 — 16}{-8} = \frac{-8}{-8} = 1;$

Координаты некоторых точек:

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& -1& 0& 2& 3\\ y& -7& -1& -1& -7\end{array}}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 2 & 3 \\ \hline y & -7 & -1 & -1 & -7 \\ \hline \end{array}$$

а) $y = 2x^2 — 4x — 1$:

Координаты вершины параболы:

Для нахождения абсциссы вершины квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ используется формула:

$$x_{\text{vertex}} = -\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения коэффициентов $a = 2$ и $b = -4$:

$$x_{\text{vertex}} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$$

Теперь находим ординату вершины, подставив найденное значение $x = 1$ в исходное уравнение:

$$y_{\text{vertex}} = 2(1)^2 — 4(1) — 1 = 2 — 4 — 1 = -3$$

Таким образом, координаты вершины параболы $(-1, -3)$.

Координаты некоторых точек:

Для вычисления значений функции в разных точках, подставляем соответствующие значения $x$:

• Для $x = -1$:

  $$y = 2(-1)^2 — 4(-1) — 1 = 2 \cdot 1 + 4 — 1 = 5$$

• Для $x = 0$:

  $$y = 2(0)^2 — 4(0) — 1 = -1$$

• Для $x = 2$:

  $$y = 2(2)^2 — 4(2) — 1 = 2 \cdot 4 — 8 — 1 = -1$$

• Для $x = 3$:

  $$y = 2(3)^2 — 4(3) — 1 = 2 \cdot 9 — 12 — 1 = 5$$

Таблица значений функции:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 2 & 3 \\ \hline y & 5 & -1 & -1 & 5 \\ \hline \end{array}$$

Нули функции:

Чтобы найти нули функции, приравниваем $y = 0$:

$$2x^2 — 4x — 1 = 0$$

Для нахождения корней, вычисляем дискриминант $D$:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 16 + 8 = 24$$

Таким образом, корни уравнения находятся по формуле:

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = 1 \pm \frac{1}{2}\sqrt{6}$$

Следовательно, корни функции:

$$x_1 = 1 + \frac{1}{2}\sqrt{6}, \quad x_2 = 1 — \frac{1}{2}\sqrt{6}$$

Наименьшее значение:

Наименьшее значение функции будет на вершине параболы, которое мы вычислили ранее:

$$y_{\text{min}} = -3$$

б) $y = x^2 + 2x — 4$:

Координаты вершины параболы:

Для нахождения абсциссы вершины используем формулу:

$$x_{\text{vertex}} = -\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения $a = 1$ и $b = 2$:

$$x_{\text{vertex}} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$$

Теперь находим ординату вершины, подставив $x = -1$ в исходное уравнение:

$$y_{\text{vertex}} = (-1)^2 + 2(-1) — 4 = 1 — 2 — 4 = -5$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(-1, -5)$.

Координаты некоторых точек:

Подставляем различные значения $x$:

• Для $x = -4$:

  $$y = (-4)^2 + 2(-4) — 4 = 16 — 8 — 4 = 4$$

• Для $x = -3$:

  $$y = (-3)^2 + 2(-3) — 4 = 9 — 6 — 4 = -1$$

• Для $x = -2$:

  $$y = (-2)^2 + 2(-2) — 4 = 4 — 4 — 4 = -4$$

• Для $x = 0$:

  $$y = (0)^2 + 2(0) — 4 = -4$$

• Для $x = 1$:

  $$y = (1)^2 + 2(1) — 4 = 1 + 2 — 4 = -1$$

• Для $x = 2$:

  $$y = (2)^2 + 2(2) — 4 = 4 + 4 — 4 = 4$$

Таблица значений функции:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 4 & -1 & -4 & -4 & -1 & 4 \\ \hline \end{array}$$

Нули функции:

Для нахождения нулей функции приравниваем её к нулю:

$$x^2 + 2x — 4 = 0$$

Вычисляем дискриминант $D$:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$$

Тогда корни уравнения:

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$$

Корни функции:

$$x_1 = -1 + \sqrt{5}, \quad x_2 = -1 — \sqrt{5}$$

Наименьшее значение:

Наименьшее значение функции равно значению в вершине параболы:

$$y_{\text{min}} = -5$$

в) $y = -x^2 + 6x — 7$:

Координаты вершины параболы:

Для нахождения абсциссы вершины используем формулу:

$$x_{\text{vertex}} = -\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения $a = -1$ и $b = 6$:

$$x_{\text{vertex}} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{2} = 3$$

Находим ординату вершины, подставив $x = 3$ в исходное уравнение:

$$y_{\text{vertex}} = -(3)^2 + 6(3) — 7 = -9 + 18 — 7 = 2$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(3, 2)$.

Координаты некоторых точек:

Подставляем разные значения $x$:

• Для $x = 0$:

  $$y = -(0)^2 + 6(0) — 7 = -7$$

• Для $x = 1$:

  $$y = -(1)^2 + 6(1) — 7 = -1 + 6 — 7 = -2$$

• Для $x = 2$:

  $$y = -(2)^2 + 6(2) — 7 = -4 + 12 — 7 = 1$$

• Для $x = 4$:

  $$y = -(4)^2 + 6(4) — 7 = -16 + 24 — 7 = 1$$

• Для $x = 5$:

  $$y = -(5)^2 + 6(5) — 7 = -25 + 30 — 7 = -2$$

• Для $x = 6$:

  $$y = -(6)^2 + 6(6) — 7 = -36 + 36 — 7 = -7$$

Таблица значений функции:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & -7 & -2 & 1 & 1 & -2 & -7 \\ \hline \end{array}$$

Нули функции:

Для нахождения нулей приравниваем $y = 0$:

$$-x^2 + 6x — 7 = 0$$

Вычисляем дискриминант $D$:

$$D = 6^2 — 4 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$$

Тогда корни:

$$x = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{-2} = \frac{-6 \pm 8}{-2}$$

Корни:

$$x_1 = 3 + \sqrt{2}, \quad x_2 = 3 — \sqrt{2}$$

Наибольшее значение:

Наибольшее значение функции равно значению в вершине параболы:

$$y_{\text{max}} = 2$$

г) $y = -2x^2 + 4x — 1$:

Координаты вершины параболы:

Для нахождения абсциссы вершины используем формулу:

$$x_{\text{vertex}} = -\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения $a = -2$ и $b = 4$:

$$x_{\text{vertex}} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = \frac{4}{4} = 1$$

Находим ординату вершины, подставив $x = 1$ в исходное уравнение:

$$y_{\text{vertex}} = -2(1)^2 + 4(1) — 1 = -2 + 4 — 1 = 1$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(1, 1)$.

Координаты некоторых точек:

Подставляем различные значения $x$:

• Для $x = -1$:

  $$y = -2(-1)^2 + 4(-1) — 1 = -2 \cdot 1 — 4 — 1 = -7$$

• Для $x = 0$:

  $$y = -2(0)^2 + 4(0) — 1 = -1$$

• Для $x = 2$:

  $$y = -2(2)^2 + 4(2) — 1 = -2 \cdot 4 + 8 — 1 = -8 + 8 — 1 = -1$$

• Для $x = 3$:

  $$y = -2(3)^2 + 4(3) — 1 = -2 \cdot 9 + 12 — 1 = -18 + 12 — 1 = -7$$

Таблица значений функции:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 2 & 3 \\ \hline y & -7 & -1 & -1 & -7 \\ \hline \end{array}$$

Нули функции:

Для нахождения нулей приравниваем функцию к нулю:

$$-2x^2 + 4x — 1 = 0$$

Вычисляем дискриминант $D$:

$$D = 4^2 — 4 \cdot (-2) \cdot (-1) = 16 — 8 = 8$$

Тогда корни уравнения:

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{-4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{-4} = 1 \mp \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Следовательно, корни:

$$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad x_2 = 1 — \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Наибольшее значение:

Наибольшее значение функции будет на вершине параболы, которое мы вычислили ранее:

$$y_{\text{max}} = 1$$