ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 266 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = x^2 — 4x + 3$;

б) $y = -x^2 + 4x — 3$;

в) $y = 2x^2 + 4x — 6$;

г) $y = -2x^2 + 4x + 6$;

д) $y = 0,5x^2 — x — 4$;

е) $y = -0,5x^2 — x + 4$;

ж) $y = -x^2 + 2x$;

з) $y = \frac{1}{4}x^2 — x$.

В каждом случае укажите:

1) Наибольшее или наименьшее значение функции;

2) Промежутки возрастания и убывания функции;

3) Нули функции;

4) Значения $x$, при которых $y > 0$ и $y < 0$.

а) $y = x^2 — 4x + 3$

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{-4}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2$$

$$x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$ $$y = \frac{4 \cdot 1 \cdot 3 — (-4)^2}{4 \cdot 1} = \frac{12 — 16}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$

Координаты некоторых точек:

Свойства функции:

1) Наименьшее значение: $y_{\text{min}} = -1$;

2) Функция возрастает при: $x \in (2; +\infty]$;
Функция убывает при: $x \in (-\infty; 2]$;

3) Нули функции: $x = 1$ и $x = 3$;

4) Знаки функции:

$y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$;

$y < 0$ при $x \in (1; 3)$.

б) $y = -x^2 + 4x — 3$

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{4}{2\cdot (-1)}=\frac{4}{2}=2$$

$$x = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{2} = 2$$ $$y = \frac{4 \cdot (-1) \cdot (-3) — 4^2}{4 \cdot (-1)} = \frac{12 — 16}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1$$

Координаты некоторых точек:

Свойства функции:

1) Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = 1$;

2) Функция возрастает при: $x \in (-\infty; 2]$;
Функция убывает при: $x \in (2; +\infty]$;

3) Нули функции: $x = 1$ и $x = 3$;

4) Знаки функции:

$y > 0$ при $x \in (1; 3)$;

$y < 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

в) $y = 2x^2 + 4x — 6$

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{4}{2\cdot 2}=-\frac{4}{4}=-1$$

$$x = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -\frac{4}{4} = -1$$ $$y = \frac{4 \cdot 2 \cdot (-6) — 4^2}{4 \cdot 2} = \frac{-48 — 16}{8} = \frac{-64}{8} = -8$$

Координаты некоторых точек:

Свойства функции:

1) Наименьшее значение: $y_{\text{min}} = -8$;

2) Функция возрастает при: $x \in [-1; +\infty)$;
Функция убывает при: $x \in (-\infty; -1]$;

3) Нули функции: $x = -3$ и $x = 1$;

4) Знаки функции:

$y > 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$;

$y < 0$ при $x \in (-3; 1)$.

г) $y = -2x^2 + 4x + 6$

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{4}{2\cdot (-2)}=\frac{4}{4}=1$$

$$x = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = \frac{4}{4} = 1$$ $$y = \frac{4 \cdot (-2) \cdot 6 — 4^2}{4 \cdot (-2)} = \frac{-48 — 16}{-8} = \frac{-64}{-8} = 8$$

Координаты некоторых точек:

Свойства функции:

1) Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = 8$;

2) Функция возрастает при: $x \in (-\infty; 1]$;
Функция убывает при: $x \in [1; +\infty)$;

3) Нули функции: $x = -1$ и $x = 3$;

4) Знаки функции:

$y > 0$ при $x \in (-1; 3)$;

$y < 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

д) $y = 0,5x^2 — x — 4$

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{-1}{2\cdot 0,5}=\frac{1}{1}=1$$

$$x = -\frac{-1}{2 \cdot 0,5} = \frac{1}{1} = 1$$ $$y = \frac{4 \cdot 0,5 \cdot (-4) — (-1)^2}{4 \cdot 0,5} = \frac{-8 — 1}{2} = \frac{-9}{2} = -4.5$$

Координаты некоторых точек:

Свойства функции:

1) Наименьшее значение: $y_{\text{min}} = -4.5$;

2) Функция возрастает при: $x \in [1; +\infty)$;
Функция убывает при: $x \in (-\infty; 1]$;

3) Нули функции: $x = -2$ и $x = 4$;

4) Знаки функции:

$y > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)$;

$y < 0$ при $x \in (-2; 4)$.

е) $y = -0,5x^2 — x + 4$

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{-1}{2\cdot (-0.5)}=\frac{1}{-1}=-1$$

$$x = -\frac{-1}{2 \cdot (-0.5)} = \frac{1}{-1} = -1$$ $$y = \frac{4 \cdot (-0.5) \cdot 4 — (-1)^2}{4 \cdot (-0.5)} = \frac{-8 — 1}{-2} = \frac{-9}{-2} = 4.5$$

Координаты некоторых точек:

Свойства функции:

1) Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = 4.5$;

2) Функция возрастает при: $x \in (-\infty; 1]$;
Функция убывает при: $x \in [1; +\infty)$;

3) Нули функции: $x = -4$ и $x = 2$;

4) Знаки функции:

$y > 0$ при $x \in (-4; 2)$;

$y < 0$ при $x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty)$.

ж) $y = -x^2 + 2x$

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{2}{2\cdot (-1)}=\frac{2}{2}=1$$

$$x = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{2} = 1$$ $$y = \frac{4 \cdot (-1) \cdot 0 — 2^2}{4 \cdot (-1)} = \frac{0 — 4}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1$$

Координаты некоторых точек:

Свойства функции:

1) Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = 1$;

2) Функция возрастает при: $x \in (-\infty; 1]$;
Функция убывает при: $x \in [1; +\infty)$;

3) Нули функции: $x = 0$ и $x = 2$;

4) Знаки функции:

$y > 0$ при $x \in (0; 2)$;

$y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

з) $y = \frac{1}{4}x^2 — x$

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{-1}{2\cdot \left(\frac{1}{4}\right)}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$

$$x = -\frac{-1}{2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$ $$y = \frac{4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right) \cdot 0 — (-1)^2}{4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)} = \frac{0 — 1}{1} = -1$$

Координаты некоторых точек:

Свойства функции:

1) Наименьшее значение: $y_{\text{min}} = -1$;

2) Функция возрастает при: $x \in [2; +\infty)$;
Функция убывает при: $x \in (-\infty; 2]$;

3) Нули функции: $x = 0$ и $x = 4$;

4) Знаки функции:

$y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$;

$y < 0$ при $x \in (0; 4)$.

Свойства функции для каждого уравнения:

а) $y = x^2 — 4x + 3$

Координаты вершины параболы:

Для нахождения координат вершины параболы используем стандартную формулу для $x$-координаты вершины:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$

Теперь подставляем $x = 2$ в исходное уравнение для нахождения $y$-координаты вершины:

$$y = \frac{4ac — b^2}{4a} = \frac{4 \cdot 1 \cdot 3 — (-4)^2}{4 \cdot 1} = \frac{12 — 16}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(2; -1)$.

Координаты некоторых точек:

Для того чтобы найти другие точки на графике функции, подставим значения $x$ в исходное уравнение $y = x^2 — 4x + 3$:

График функции:

График параболы симметричен относительно оси $x = 2$, и имеет минимальное значение $y_{\text{min}} = -1$ в точке вершины.

Свойства функции:

Наименьшее значение: $y_{\text{min}} = -1$;

Функция возрастает при: $x \in (2; +\infty]$;
Функция убывает при: $x \in (-\infty; 2]$;

Нули функции: $x = 1$ и $x = 3$;

Знаки функции:

$y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$;

$y < 0$ при $x \in (1; 3)$.

б) $y = -x^2 + 4x — 3$

Координаты вершины параболы:

Для нахождения координат вершины параболы используем ту же формулу для $x$-координаты:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{-2} = -2$$

Теперь подставляем $x = -2$ в исходное уравнение для нахождения $y$-координаты вершины:

$$y = \frac{4ac — b^2}{4a} = \frac{4 \cdot (-1) \cdot (-3) — 4^2}{4 \cdot (-1)} = \frac{12 — 16}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(-2; 1)$.

Координаты некоторых точек:

Для нахождения других точек, подставляем значения $x$ в уравнение:

График функции:

График параболы симметричен относительно оси $x = -2$, и имеет наибольшее значение $y_{\text{max}} = 1$ в точке вершины.

Свойства функции:

Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = 1$;

Функция возрастает при: $x \in (-\infty; -2]$;
Функция убывает при: $x \in [-2; +\infty)$;

Нули функции: $x = 1$ и $x = 3$;

Знаки функции:

$y > 0$ при $x \in (1; 3)$;

$y < 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

в) $y = 2x^2 + 4x — 6$

Координаты вершины параболы:

Для нахождения координат вершины параболы используем те же формулы для $x$-координаты:

$$x = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -\frac{4}{4} = -1$$

Теперь подставляем $x = -1$ в уравнение для нахождения $y$-координаты вершины:

$$y = \frac{4 \cdot 2 \cdot (-6) — 4^2}{4 \cdot 2} = \frac{-48 — 16}{8} = \frac{-64}{8} = -8$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(-1; -8)$.

Координаты некоторых точек:

Подставляем значения $x$ в уравнение для нахождения значений $y$:

График функции:

График параболы симметричен относительно оси $x = -1$, и имеет наименьшее значение $y_{\text{min}} = -8$ в точке вершины.

Свойства функции:

Наименьшее значение: $y_{\text{min}} = -8$;

Функция возрастает при: $x \in [-1; +\infty)$;
Функция убывает при: $x \in (-\infty; -1]$;

Нули функции: $x = -3$ и $x = 1$;

Знаки функции:

$y > 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$;

$y < 0$ при $x \in (-3; 1)$.

г) $y = -2x^2 + 4x + 6$

Координаты вершины параболы:

Для нахождения координат вершины параболы используем те же формулы для $x$-координаты:

$$x = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = \frac{4}{4} = 1$$

Теперь подставляем $x = 1$ в уравнение для нахождения $y$-координаты вершины:

$$y = \frac{4 \cdot (-2) \cdot 6 — 4^2}{4 \cdot (-2)} = \frac{-48 — 16}{-8} = \frac{-64}{-8} = 8$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(1; 8)$.

Координаты некоторых точек:

Подставляем значения $x$ в уравнение для нахождения значений $y$:

График функции:

График параболы симметричен относительно оси $x = 1$, и имеет наибольшее значение $y_{\text{max}} = 8$ в точке вершины.

Свойства функции:

Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = 8$;

Функция возрастает при: $x \in (-\infty; 1]$;
Функция убывает при: $x \in [1; +\infty)$;

Нули функции: $x = -1$ и $x = 3$;

Знаки функции:

$y > 0$ при $x \in (-1; 3)$;

$y < 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

д) $y = 0,5x^2 — x — 4$

Координаты вершины параболы:

Для нахождения координат вершины параболы используем формулы для координат:

$$x = -\frac{-1}{2 \cdot 0,5} = \frac{1}{1} = 1$$

Теперь подставляем $x = 1$ в уравнение для нахождения $y$-координаты:

$$y = \frac{4 \cdot 0,5 \cdot (-4) — (-1)^2}{4 \cdot 0,5} = \frac{-8 — 1}{2} = \frac{-9}{2} = -4.5$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(1; -4.5)$.

Координаты некоторых точек:

Подставляем значения $x$ в уравнение для нахождения значений $y$:

График функции:

График функции будет симметричным относительно оси $x = 1$, направлен вверх и имеет наименьшее значение $y_{\text{min}} = -4.5$.

е) $y = -0,5x^2 — x + 4$

Координаты вершины параболы:

Вершина параболы для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле:

$$x_{\text{vertex}} = -\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения из уравнения $a = -0.5$ и $b = -1$:

$$x_{\text{vertex}} = -\frac{-1}{2 \cdot (-0.5)} = \frac{1}{-1} = -1$$

Чтобы найти ординату вершины $y_{\text{vertex}}$, подставляем значение $x = -1$ в исходную функцию:

$$y = -0.5(-1)^2 — (-1) + 4 = -0.5 \cdot 1 + 1 + 4 = -0.5 + 1 + 4 = 4.5$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(-1, 4.5)$.

Координаты некоторых точек:

Для вычисления значений функции в нескольких точках, подставляем значения $x$ в уравнение $y = -0.5x^2 — x + 4$:

Для $x = -6$:

$$y = -0.5(-6)^2 — (-6) + 4 = -0.5 \cdot 36 + 6 + 4 = -18 + 6 + 4 = -8$$

Для $x = -4$:

$$y = -0.5(-4)^2 — (-4) + 4 = -0.5 \cdot 16 + 4 + 4 = -8 + 4 + 4 = 0$$

Для $x = -2$:

$$y = -0.5(-2)^2 — (-2) + 4 = -0.5 \cdot 4 + 2 + 4 = -2 + 2 + 4 = 4$$

Для $x = 0$:

$$y = -0.5(0)^2 — (0) + 4 = 4$$

Для $x = 2$:

$$y = -0.5(2)^2 — (2) + 4 = -0.5 \cdot 4 — 2 + 4 = -2 — 2 + 4 = 0$$

Для $x = 4$:

$$y = -0.5(4)^2 — (4) + 4 = -0.5 \cdot 16 — 4 + 4 = -8 — 4 + 4 = -8$$

Таблица значений функции:

График функции:

График функции $y = -0.5x^2 — x + 4$ представляет собой параболу, направленную вниз, с вершиной в точке $(-1, 4.5)$. Значения функции для $x$ изменяются симметрично относительно оси $x = -1$.

Свойства функции:

Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = 4.5$, которое достигается в точке вершины $x = -1$.

Функция возрастает при: $x \in (-\infty; 1]$, поскольку для $x$ в этом интервале значение функции увеличивается.
Функция убывает при: $x \in [1; +\infty)$, так как для $x$ в этом интервале функция начинает уменьшаться.

Нули функции: $x = -4$ и $x = 2$, так как эти значения делают $y = 0$.

Знаки функции:

$y > 0$ при $x \in (-4; 2)$, в этом интервале функция принимает положительные значения.

$y < 0$ при $x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty)$, в этих интервалах функция принимает отрицательные значения.

ж) $y = -x^2 + 2x$

Координаты вершины параболы:

Вершина параболы для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле:

$$x_{\text{vertex}} = -\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения $a = -1$ и $b = 2$:

$$x_{\text{vertex}} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{2} = 1$$

Чтобы найти ординату вершины $y_{\text{vertex}}$, подставляем значение $x = 1$ в исходное уравнение:

$$y = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(1, 1)$.

Координаты некоторых точек:

Для вычисления значений функции в нескольких точках, подставляем значения $x$ в уравнение $y = -x^2 + 2x$:

Для $x = -2$:

$$y = -(-2)^2 + 2(-2) = -4 — 4 = -8$$

Для $x = -1$:

$$y = -(-1)^2 + 2(-1) = -1 — 2 = -3$$

Для $x = 0$:

$$y = -(0)^2 + 2(0) = 0$$

Для $x = 2$:

$$y = -(2)^2 + 2(2) = -4 + 4 = 0$$

Для $x = 3$:

$$y = -(3)^2 + 2(3) = -9 + 6 = -3$$

Для $x = 4$:

$$y = -(4)^2 + 2(4) = -16 + 8 = -8$$

Таблица значений функции:

График функции:

График функции $y = -x^2 + 2x$ представляет собой параболу, направленную вниз, с вершиной в точке $(1, 1)$.

Свойства функции:

Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = 1$, которое достигается в точке вершины $x = 1$.

Функция возрастает при: $x \in (-\infty; 1]$, так как функция возрастает в этом интервале.
Функция убывает при: $x \in [1; +\infty)$, так как функция убывает в этом интервале.

Нули функции: $x = 0$ и $x = 2$, поскольку эти значения делают $y = 0$.

Знаки функции:

$y > 0$ при $x \in (0; 2)$, в этом интервале функция принимает положительные значения.

$y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$, в этих интервалах функция принимает отрицательные значения.

з) $y = \frac{1}{4}x^2 — x$

Координаты вершины параболы:

Вершина параболы для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле:

$$x_{\text{vertex}} = -\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения $a = \frac{1}{4}$ и $b = -1$:

$$x_{\text{vertex}} = -\frac{-1}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$

Чтобы найти ординату вершины $y_{\text{vertex}}$, подставляем значение $x = 2$ в исходное уравнение:

$$y = \frac{1}{4}(2)^2 — 2 = \frac{1}{4} \cdot 4 — 2 = 1 — 2 = -1$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(2, -1)$.

Координаты некоторых точек:

Для вычисления значений функции в нескольких точках, подставляем значения $x$ в уравнение $y = \frac{1}{4}x^2 — x$:

Для $x = -4$:

$$y = \frac{1}{4}(-4)^2 — (-4) = \frac{1}{4} \cdot 16 + 4 = 4 + 4 = 8$$

Для $x = -2$:

$$y = \frac{1}{4}(-2)^2 — (-2) = \frac{1}{4} \cdot 4 + 2 = 1 + 2 = 3$$

Для $x = 0$:

$$y = \frac{1}{4}(0)^2 — 0 = 0$$

Для $x = 4$:

$$y = \frac{1}{4}(4)^2 — 4 = \frac{1}{4} \cdot 16 — 4 = 4 — 4 = 0$$

Для $x = 6$:

$$y = \frac{1}{4}(6)^2 — 6 = \frac{1}{4} \cdot 36 — 6 = 9 — 6 = 3$$

Для $x = 8$:

$$y = \frac{1}{4}(8)^2 — 8 = \frac{1}{4} \cdot 64 — 8 = 16 — 8 = 8$$

Таблица значений функции:

График функции:

График функции $y = \frac{1}{4}x^2 — x$ представляет собой параболу, направленную вверх, с вершиной в точке $(2, -1)$.

Свойства функции:

Наименьшее значение: $y_{\text{min}} = -1$, которое достигается в точке вершины $x = 2$.

Функция возрастает при: $x \in [2; +\infty)$, так как функция возрастает в этом интервале.
Функция убывает при: $x \in (-\infty; 2]$, так как функция убывает в этом интервале.

Нули функции: $x = 0$ и $x = 4$, так как эти значения делают $y = 0$.

Знаки функции:

$y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$, в этих интервалах функция принимает положительные значения.

$y < 0$ при $x \in (0; 4)$, в этом интервале функция принимает отрицательные значения.