ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 265 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = 2x^2 — 4x + 5$;

б) $y = x^2 + 4x + 6$;

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 — 4x — 9$;

г) $y = -x^2 + 6x — 10$.

Воспользуйтесь следующим планом:

1) Найдите координаты вершины параболы;

2) Отметьте вершину в координатной плоскости и проведите ось симметрии параболы;

3) Определите направление ветвей;

4) Вычислите координаты нескольких точек параболы и отметьте их в координатной плоскости;

5) Проведите параболу.

а) $y = 2x^2 — 4x + 5$

1) Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{-4}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1$$

$$x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$$ $$y = \frac{4 \cdot 2 \cdot 5 — (-4)^2}{4 \cdot 2} = \frac{40 — 16}{8} = \frac{24}{8} = 3$$

2) Уравнение оси симметрии: $x = 1$.

3) Направление ветвей: Ветви направлены вверх, так как $a = 2 > 0$.

4) Координаты некоторых точек:

5) График функции:

б) $y = x^2 + 4x + 6$

1) Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{4}{2\cdot 1}=-\frac{4}{2}=-2$$

$$x = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2$$ $$y = \frac{4 \cdot 1 \cdot 6 — 4^2}{4 \cdot 1} = \frac{24 — 16}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

2) Уравнение оси симметрии: $x = -2$.

3) Направление ветвей: Ветви направлены вверх, так как $a = 1 > 0$.

4) Координаты некоторых точек:

5) График функции:

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 — 4x — 9$

1) Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{-4}{2\cdot (-0.5)}=-\frac{4}{1}=-4$$

$$x = -\frac{-4}{2 \cdot (-0.5)} = -\frac{4}{1} = -4$$ $$y = \frac{4 \cdot (-0.5) \cdot (-9) — (-4)^2}{4 \cdot (-0.5)} = \frac{18 — 16}{-2} = \frac{2}{-2} = -1$$

2) Уравнение оси симметрии: $x = -4$.

3) Направление ветвей: Ветви направлены вниз, так как $a = -\frac{1}{2} < 0$.

4) Координаты некоторых точек:

5) График функции:

г) $y = -x^2 + 6x — 10$

1) Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{6}{2\cdot (-1)}=\frac{6}{2}=3$$

$$x = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{2} = 3$$ $$y = \frac{4 \cdot (-1) \cdot (-10) — 6^2}{4 \cdot (-1)} = \frac{40 — 36}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$$

2) Уравнение оси симметрии: $x = 3$.

3) Направление ветвей: Ветви направлены вниз, так как $a = -1 < 0$.

4) Координаты некоторых точек:

5) График функции:

а) $y = 2x^2 — 4x + 5$

1) Координаты вершины параболы:

Для нахождения координат вершины, используем формулы:

• $x = -\frac{b}{2a}$,
• $y = \frac{4ac — b^2}{4a}$.

Подставим значения $a = 2$, $b = -4$, и $c = 5$ в эти формулы:

$$x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$$

Теперь подставим $x = 1$ в уравнение для нахождения $y$-координаты вершины:

$$y = \frac{4 \cdot 2 \cdot 5 — (-4)^2}{4 \cdot 2} = \frac{40 — 16}{8} = \frac{24}{8} = 3$$

Таким образом, координаты вершины: $(1; 3)$.

2) Уравнение оси симметрии:

Ось симметрии проходит через $x = 1$, так как это значение $x$-координаты вершины. Следовательно, уравнение оси симметрии: $x = 1$.

3) Направление ветвей:

Так как коэффициент $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

4) Координаты некоторых точек:

Теперь найдём несколько точек параболы, подставив различные значения $x$:

Подставим эти значения $x$ в исходное уравнение $y = 2x^2 — 4x + 5$, чтобы получить значения $y$.

5) График функции:

График функции будет симметричной относительно оси $x = 1$, направленной вверх и имеющей вершину в точке $(1; 3)$.

б) $y = x^2 + 4x + 6$

1) Координаты вершины параболы:

Используем те же формулы для нахождения координат вершины:

$$x = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2$$

Теперь подставим $x = -2$ в уравнение для нахождения $y$-координаты вершины:

$$y = \frac{4 \cdot 1 \cdot 6 — 4^2}{4 \cdot 1} = \frac{24 — 16}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

Таким образом, координаты вершины: $(-2; 2)$.

2) Уравнение оси симметрии:

Ось симметрии проходит через $x = -2$, следовательно, уравнение оси симметрии: $x = -2$.

3) Направление ветвей:

Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

4) Координаты некоторых точек:

Теперь найдём несколько точек параболы:

Подставив эти значения $x$ в уравнение, находим соответствующие значения $y$.

5) График функции:

График функции будет симметричным относительно оси $x = -2$, направленным вверх и имеющим вершину в точке $(-2; 2)$.

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 — 4x — 9$

1) Координаты вершины параболы:

Используем формулы для нахождения координат вершины, подставив $a = -\frac{1}{2}$, $b = -4$, и $c = -9$:

$$x = -\frac{-4}{2 \cdot (-0.5)} = -\frac{4}{1} = -4$$

Теперь подставим $x = -4$ в уравнение для нахождения $y$-координаты вершины:

$$y = \frac{4 \cdot (-0.5) \cdot (-9) — (-4)^2}{4 \cdot (-0.5)} = \frac{18 — 16}{-2} = \frac{2}{-2} = -1$$

Таким образом, координаты вершины: $(-4; -1)$.

2) Уравнение оси симметрии:

Ось симметрии проходит через $x = -4$, следовательно, уравнение оси симметрии: $x = -4$.

3) Направление ветвей:

Так как $a = -\frac{1}{2} < 0$, ветви параболы направлены вниз.

4) Координаты некоторых точек:

Теперь найдём несколько точек параболы:

Подставив эти значения $x$ в уравнение, находим соответствующие значения $y$.

5) График функции:

График функции будет симметричным относительно оси $x = -4$, направленным вниз и имеющим вершину в точке $(-4; -1)$.

г) $y = -x^2 + 6x — 10$

1) Координаты вершины параболы:

Используем формулы для нахождения координат вершины, подставив $a = -1$, $b = 6$, и $c = -10$:

$$x = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{2} = 3$$

Теперь подставим $x = 3$ в уравнение для нахождения $y$-координаты вершины:

$$y = \frac{4 \cdot (-1) \cdot (-10) — 6^2}{4 \cdot (-1)} = \frac{40 — 36}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$$

Таким образом, координаты вершины: $(3; -1)$.

2) Уравнение оси симметрии:

Ось симметрии проходит через $x = 3$, следовательно, уравнение оси симметрии: $x = 3$.

3) Направление ветвей:

Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

4) Координаты некоторых точек:

Теперь найдём несколько точек параболы:

Подставив эти значения $x$ в уравнение, находим соответствующие значения $y$.

5) График функции:

График функции будет симметричным относительно оси $x = 3$, направленным вниз и имеющим вершину в точке $(3; -1)$.