ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 264 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Укажите направление ветвей параболы, вычислите координаты вершины и покажите схематически расположение параболы в координатной плоскости:

а) $y = x^2 — 4x + 3$;

б) $y = -2x^2 + 2x — 1$;

в) $y = \frac{1}{2}x^2 + 8x + 34$;

г) $y = -x^2 — 14x — 48$.

У квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$:

• Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх;
• Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы находится в точке $\left( -\frac{b}{2a}; \frac{4ac — b^2}{4a} \right)$.

а) $y = x^2 — 4x + 3$

Направление ветвей:

$a = 1 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины:

$x$-координата вершины:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$

$y$-координата вершины:

$$y = \frac{4ac — b^2}{4a} = \frac{4 \cdot 1 \cdot 3 — (-4)^2}{4 \cdot 1} = \frac{12 — 16}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$

б) $y = -2x^2 + 2x — 1$

Направление ветвей:

$a = -2 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины:

$x$-координата вершины:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

$y$-координата вершины:

$$y = \frac{4ac — b^2}{4a} = \frac{4 \cdot (-2) \cdot (-1) — 2^2}{4 \cdot (-2)} = \frac{8 — 4}{-8} = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$$

в) $y = \frac{1}{2}x^2 + 8x + 34$

Направление ветвей:

$a = \frac{1}{2} > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины:

$x$-координата вершины:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -\frac{8}{1} = -8$$

$y$-координата вершины:

$$y = \frac{4ac — b^2}{4a} = \frac{4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 34 — 8^2}{4 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{68 — 64}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

г) $y = -x^2 — 14x — 48$

Направление ветвей:

$a = -1 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины:

$x$-координата вершины:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-14}{2 \cdot (-1)} = \frac{14}{-2} = -7$$

$y$-координата вершины:

$$y = \frac{4ac — b^2}{4a} = \frac{4 \cdot (-1) \cdot (-48) — (-14)^2}{4 \cdot (-1)} = \frac{192 — 196}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1$$

У квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$:

• Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх;
• Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы находится в точке $\left( -\frac{b}{2a}; \frac{4ac — b^2}{4a} \right)$.

а) $y = x^2 — 4x + 3$

Направление ветвей:

$a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины:

$x$-координата вершины:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$

Для вычисления $x$-координаты вершины, мы используем формулу для координаты $x$ вершины параболы. Подставляем значения $b = -4$ и $a = 1$, получаем $x = 2$.

$y$-координата вершины:

$$y = \frac{4ac — b^2}{4a} = \frac{4 \cdot 1 \cdot 3 — (-4)^2}{4 \cdot 1} = \frac{12 — 16}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$

Для нахождения $y$-координаты вершины, подставляем значения $a = 1$, $b = -4$, и $c = 3$ в формулу для $y$-координаты вершины. После вычислений получаем $y = -1$.

б) $y = -2x^2 + 2x — 1$

Направление ветвей:

$a = -2 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины:

$x$-координата вершины:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Здесь мы подставляем $b = 2$ и $a = -2$ в формулу для вычисления координаты вершины по оси $x$. Получаем, что $x = \frac{1}{2}$.

$y$-координата вершины:

$$y = \frac{4ac — b^2}{4a} = \frac{4 \cdot (-2) \cdot (-1) — 2^2}{4 \cdot (-2)} = \frac{8 — 4}{-8} = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$$

Для нахождения $y$-координаты вершины, подставляем значения $a = -2$, $b = 2$, и $c = -1$ в формулу для $y$. После вычислений получаем $y = -\frac{1}{2}$.

в) $y = \frac{1}{2}x^2 + 8x + 34$

Направление ветвей:

$a = \frac{1}{2} > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины:

$x$-координата вершины:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -\frac{8}{1} = -8$$

Подставляем значения $b = 8$ и $a = \frac{1}{2}$ в формулу для вычисления координаты вершины по оси $x$. После вычислений получаем $x = -8$.

$y$-координата вершины:

$$y = \frac{4ac — b^2}{4a} = \frac{4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 34 — 8^2}{4 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{68 — 64}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Для нахождения $y$-координаты вершины, подставляем значения $a = \frac{1}{2}$, $b = 8$, и $c = 34$ в формулу для $y$. Получаем $y = 2$.

г) $y = -x^2 — 14x — 48$

Направление ветвей:

$a = -1 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины:

$x$-координата вершины:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-14}{2 \cdot (-1)} = \frac{14}{-2} = -7$$

Подставляем значения $b = -14$ и $a = -1$ в формулу для вычисления координаты вершины по оси $x$. Получаем $x = -7$.

$y$-координата вершины:

$$y = \frac{4ac — b^2}{4a} = \frac{4 \cdot (-1) \cdot (-48) — (-14)^2}{4 \cdot (-1)} = \frac{192 — 196}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1$$

Для нахождения $y$-координаты вершины, подставляем значения $a = -1$, $b = -14$, и $c = -48$ в формулу для $y$. Получаем $y = 1$.