ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 262 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Сравните значения функции $y = x^2 + 1$ при $x = -3$ и $x = 3$, при $x = \frac{1}{2}$ и $x = -\frac{1}{2}$, при $x = -100$ и $x = 100$. Какое свойство этой функции вы обнаружили? Обладает ли этим свойством функция $y = (x + 1)^2$? $y = x^2 + x$?

2) Функцию $y = f(x)$ называют четной, если её область определения симметрична относительно начала координат и при любом значении $x$ из области определения $f(-x) = f(x)$. Так, функция $y = x^2 + 1$ четная, а функции $y = (x + 1)^2$ и $y = x^2 + x$ четными не являются. Придумайте свои примеры четных функций.

3) Каким свойством обладает график четной функции? Начертите в системе координат какую-нибудь линию, которая может служить графиком четной функции.

1) Значения функции $y = x^2 + 1$:

$$y(3)=9+1=10\text{и}y(-3)=9+1=10;$$

$$y(3) = 9 + 1 = 10 \quad \text{и} \quad y(-3) = 9 + 1 = 10;$$ $$y\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}\text{и}y(-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4};$$

$$y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} \quad \text{и} \quad y\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4};$$ $$y(-100) = 10001 \quad \text{и} \quad y(100) = 10001.$$

Функция принимает одинаковые значения при противоположных значениях аргумента, то есть $f(x) = f(-x)$.

Значения функции $y = (x + 1)^2$:

$$y(3) = (3 + 1)^2 = 16 \quad \text{и} \quad y(-3) = (-3 + 1)^2 = 4;$$

Функция не обладает этим свойством.

Значения функции $y = x^2 + x$:

$$y(3) = 9 + 3 = 12 \quad \text{и} \quad y(-3) = 9 — 3 = 6;$$

Функция не обладает этим свойством.

2) Другие примеры четных функций:

$$y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid };$$

$$y = |x|;$$ $$y=\frac{4}{5}{x}^2-3;$$

$$y = \frac{4}{5}x^2 — 3;$$ $$y=9x^2+5;$$

$$y = 9x^2 + 5;$$ $$y=-3x^2;$$

$$y = -3x^2;$$ $$y = -5.3x^2 + 15.$$

3) Построим график четной функции, например $y = x^2$:

График симметричен относительно оси $y$.

1) Значения функции $y = x^2 + 1$:

Для начала рассмотрим значения функции при различных $x$. При $x = 3$, подставляем в уравнение:

$$y(3) = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10.$$

Теперь подставим $x = -3$:

$$y(-3) = (-3)^2 + 1 = 9 + 1 = 10.$$

Мы видим, что значение функции при $x = 3$ и $x = -3$ одинаково. Таким образом, функция $y = x^2 + 1$ принимает одинаковые значения при противоположных значениях аргумента. Это свойство характерно для четных функций, поскольку $f(x) = f(-x)$.

Рассмотрим значения функции при $x = \frac{1}{2}$. Подставляем $x = \frac{1}{2}$ в уравнение:

$$y\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}.$$

Теперь подставим $x = -\frac{1}{2}$:

$$y\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}.$$

Таким образом, значения функции при $x = \frac{1}{2}$ и $x = -\frac{1}{2}$ тоже одинаковы, что подтверждает четность функции.

Рассмотрим, как функция ведет себя при $x = -100$ и $x = 100$:

$$y(-100) = (-100)^2 + 1 = 10000 + 1 = 10001,$$ $$y(100) = 100^2 + 1 = 10000 + 1 = 10001.$$

И снова значения одинаковы, что подтверждает симметричность функции относительно оси $y$, свойство четности.

Теперь рассмотрим функцию $y = (x + 1)^2$:

При $x = 3$:

$$y(3) = (3 + 1)^2 = 4^2 = 16.$$

При $x = -3$:

$$y(-3) = (-3 + 1)^2 = (-2)^2 = 4.$$

Значения функции при $x = 3$ и $x = -3$ различны. Это означает, что функция $y = (x + 1)^2$ не является четной, так как не выполняется условие $f(x) = f(-x)$.

Теперь рассмотрим функцию $y = x^2 + x$:

При $x = 3$:

$$y(3) = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12.$$

При $x = -3$:

$$y(-3) = (-3)^2 + (-3) = 9 — 3 = 6.$$

Значения функции при $x = 3$ и $x = -3$ тоже различны. Таким образом, функция $y = x^2 + x$ также не является четной.

2) Примеры четных функций:

• $y = |x|$

Это абсолютное значение $x$, которое всегда положительно или равно нулю, и его график симметричен относительно оси $y$. Для любого $x$, $|x| = |-x|$, что подтверждает четность функции.

• $y = \frac{4}{5}x^2 — 3$

Это квадратичная функция с коэффициентом при $x^2$, равным $\frac{4}{5}$, которая также является четной, поскольку $f(x) = f(-x)$ для всех $x$.

• $y = 9x^2 + 5$

Это еще одна квадратичная функция с положительным коэффициентом при $x^2$. Для любого $x$, $f(x) = f(-x)$, и график функции симметричен относительно оси $y$.

• $y = -3x^2$

Это квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при $x^2$, также являющаяся четной, поскольку для всех $x$, $f(x) = f(-x)$.

• $y = -5.3x^2 + 15$

Это квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при $x^2$, которая также является четной по тем же причинам.

3) Построим график четной функции, например $y = x^2$.

График функции $y = x^2$ симметричен относительно оси $y$, поскольку значения $y$ при $x$ и $-x$ одинаковы. Этот график иллюстрирует свойство четности: для каждого значения $x$, $f(x) = f(-x)$.