ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что сумма, разность, произведение и частное рационального числа b и иррационального числа р есть число иррациональное.
Совет. Примените способ рассуждения от противного и воспользуйтесь результатами предыдущего упражнения.

1) Пусть $(b+\beta )=c$, где $c$ — рациональное число;
$(b+\beta )-b=c-b$, отсюда $\beta =c-b$;
Тогда число $\beta$ рациональное как разность двух рациональных чисел, что противоречит условию задачи, значит $(b+\beta )$ — иррациональное число, что и требовалось доказать.

2) Пусть $b-\beta =c$, где $c$ — рациональное число;
$(b-\beta )-b=c-b\Rightarrow -\beta =c-b$, отсюда $\beta =b-c$;
Тогда число $\beta$ рациональное как разность двух рациональных чисел, что противоречит условию задачи, значит $(b-\beta )$ — иррациональное число, что и требовалось доказать.

3) Пусть $b\cdot \beta =c$, где $c$ — рациональное число;
$\frac{b\cdot \beta }{b}=\frac{c}{b}$, отсюда $\beta =\frac{c}{b}$;
Тогда число $\beta$ рациональное как частное двух рациональных чисел, что противоречит условию задачи, значит $(b\cdot \beta )$ — иррациональное число, что и требовалось доказать.

4) Пусть $\frac{b}{\beta }=c$, где $c$ — рациональное число;
$\frac{\frac{b}{\beta }}{\beta }=\frac{c}{\beta }\Rightarrow \frac{1}{\beta }=\frac{c}{b}$, отсюда $\beta =\frac{b}{c}$;
Тогда число $\beta$ рациональное как частное двух рациональных чисел, что противоречит условию задачи, значит $(b:\beta )$ — иррациональное число, что и требовалось доказать.

1) Пусть $(b+\beta )=c$, где $c$ — рациональное число.
Это означает, что число $b+\beta$ представляется в виде рационального числа $c$. Теперь рассмотрим, что происходит, если мы вычтем $b$ из обеих частей уравнения:

$$(b+\beta )-b=c-b$$

Это выражение упрощается до:

$$\beta =c-b$$

Теперь мы видим, что $\beta$ выражается как разность двух чисел: $c$ и $b$. Мы знаем, что оба числа $c$ и $b$ являются рациональными, так как $c$ — дано как рациональное число, а $b$ — по условию задачи также является рациональным. По свойству рациональных чисел, разность двух рациональных чисел всегда является рациональным числом. Таким образом, $\beta$ оказывается рациональным числом.

Однако в задаче указано, что $\beta$ должно быть иррациональным числом. Полученное противоречие означает, что $(b+\beta )$ не может быть рациональным числом, и следовательно, $(b+\beta )$ должно быть иррациональным числом, что и требовалось доказать.

2) Пусть $b-\beta =c$, где $c$ — рациональное число.
Это означает, что разность $b-\beta$ представляет собой рациональное число $c$. Теперь вычитаем $b$ из обеих частей уравнения:

$$(b-\beta )-b=c-b$$

Упростив это выражение, получаем:

$$-\beta =c-b$$

Из этого можно выразить $\beta$ как:

$$\beta =b-c$$

Теперь мы видим, что $\beta$ выражается как разность двух рациональных чисел: $b$ и $c$. Разность двух рациональных чисел всегда является рациональным числом, поэтому $\beta$ должно быть рациональным. Однако по условию задачи $\beta$ должно быть иррациональным числом. Полученное противоречие означает, что $(b-\beta )$ не может быть рациональным числом, и следовательно, $(b-\beta )$ должно быть иррациональным числом, что и требовалось доказать.

3) Пусть $b\cdot \beta =c$, где $c$ — рациональное число.
Это означает, что произведение $b\cdot \beta$ равно рациональному числу $c$. Чтобы найти $\beta$, разделим обе части уравнения на $b$:

$$\frac{b\cdot \beta }{b}=\frac{c}{b}$$

Упростив, получаем:

$$\beta =\frac{c}{b}$$

Теперь мы видим, что $\beta$ выражается как частное двух рациональных чисел $c$ и $b$. Мы знаем, что частное двух рациональных чисел, где знаменатель $b\mathrm{\ne }0$, всегда является рациональным числом. Таким образом, $\beta$ должно быть рациональным числом. Однако по условию задачи $\beta$ должно быть иррациональным. Полученное противоречие означает, что $(b\cdot \beta )$ не может быть рациональным числом, и следовательно, $(b\cdot \beta )$ должно быть иррациональным числом, что и требовалось доказать.

4) Пусть $\frac{b}{\beta }=c$, где $c$ — рациональное число.
Это означает, что частное $\frac{b}{\beta }$ равно рациональному числу $c$. Чтобы выразить $\beta$, умножим обе части уравнения на $\beta$:

$$\frac{\frac{b}{\beta }}{\beta }=\frac{c}{\beta }\Rightarrow \frac{1}{\beta }=\frac{c}{b}$$

Теперь, чтобы выразить $\beta$, инвертируем обе части уравнения:

$$\beta =\frac{b}{c}$$

Теперь мы видим, что $\beta$ выражается как частное двух рациональных чисел $b$ и $c$. Разделив два рациональных числа, мы получаем рациональное число, при условии, что $c\mathrm{\ne }0$. Таким образом, $\beta$ должно быть рациональным числом. Однако по условию задачи $\beta$ должно быть иррациональным числом. Полученное противоречие означает, что $(b:\beta )$ не может быть рациональным числом, и следовательно, $(b:\beta )$ должно быть иррациональным числом, что и требовалось доказать.