ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 257 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Запишите уравнение вида $y = ax^2 + bx + c$ для параболы, изображенной на рисунке 2.32, а–г, если известно, что она получена сдвигами вдоль осей координат параболы:
а) $y = 2x^2$;
б) $y = -x^2$;
в) $y = 0.5x^2$;
г) $y = -0.5x^2$.

Указание. Составьте для каждого графика соответствующую ему формулу в виде $y = a(x + p)^2 + q$, а затем преобразуйте ее к виду $y = ax^2 + bx + c$.

Парабола вида $y = a(x + p)^2 + q$ получена из параболы $y = ax^2$:
— Сдвигом на $(-p)$ единиц вдоль оси $x$;
— Сдвигом на $q$ единиц вдоль оси $y$;

а) $y = 2x^2$:
$a = 2$, $p = 3$, $q = -1$;
$y = 2(x + 3)^2 — 1$;
$y = 2(x^2 + 6x + 9) — 1$;
$y = 2x^2 + 12x + 18 — 1$;
$y = 2x^2 + 12x + 17$;

б) $y = -x^2$:
$a = -1$, $p = -2$, $q = 3$;
$y = -(x — 2)^2 + 3$;
$y = -(x^2 — 4x + 4) + 3$;
$y = -x^2 + 4x — 4 + 3$;
$y = -x^2 + 4x — 1$;

в) $y = 0.5x^2$:
$a = 0.5$, $p = -4$, $q = -1$;
$y = 0.5(x — 4)^2 — 1$;
$y = 0.5(x^2 — 8x + 16) — 1$;
$y = 0.5x^2 — 4x + 8 — 1$;
$y = 0.5x^2 — 4x + 7$;

г) $y = -0.5x^2$:
$a = -0.5$, $p = 2$, $q = 2$;
$y = -0.5(x + 2)^2 + 2$;
$y = -0.5(x^2 + 4x + 4) + 2$;
$y = -0.5x^2 — 2x — 2 + 2$;
$y = -0.5x^2 — 2x$;

а) $y = 2x^2$:
Мы начинаем с параболы $y = 2x^2$, где $a = 2$. Это означает, что парабола будет сжата по сравнению с базовой параболой $y = x^2$, поскольку коэффициент $a$ больше 1. Теперь рассматриваем сдвиг этой параболы.

Сдвиг на $3$ единицы влево вдоль оси $x$ означает, что в уравнении $y = a(x + p)^2 + q$, значение $p$ будет равно $3$. При сдвиге влево $p = 3$, так как сдвиг по оси $x$ на $-3$ единицы делает выражение $(x + 3)$. Кроме того, сдвиг на $1$ единицу вниз вдоль оси $y$ означает, что $q = -1$.

Таким образом, уравнение параболы после сдвига будет выглядеть так:

$$y = 2(x + 3)^2 — 1$$

Теперь раскроем скобки:

$$y = 2(x^2 + 6x + 9) — 1$$

Далее умножим каждое слагаемое на 2:

$$y = 2x^2 + 12x + 18 — 1$$

После упрощения:

$$y = 2x^2 + 12x + 17$$

б) $y = -x^2$:
Для параболы $y = -x^2$, где $a = -1$, парабола открывается вниз, и её вершина находится в начале координат. Теперь рассматриваем сдвиг этой параболы.

Сдвиг на $2$ единицы вправо по оси $x$ означает, что значение $p = -2$. При сдвиге вправо $p$ будет равно $-2$, так как сдвиг по оси $x$ на $+2$ единицы приводит к выражению $(x — 2)$. Также сдвиг на $3$ единицы вверх вдоль оси $y$ означает, что $q = 3$.

Уравнение после сдвига будет:

$$y = -(x — 2)^2 + 3$$

Теперь раскроем скобки:

$$y = -(x^2 — 4x + 4) + 3$$

Распределим минус:

$$y = -x^2 + 4x — 4 + 3$$

Упростим:

$$y = -x^2 + 4x — 1$$

в) $y = 0.5x^2$:
Для параболы $y = 0.5x^2$, где $a = 0.5$, парабола будет более широкой по сравнению с параболой $y = x^2$, так как коэффициент $a$ меньше 1. Рассмотрим сдвиг этой параболы.

Сдвиг на $4$ единицы вправо по оси $x$ означает, что значение $p = -4$, так как при сдвиге вправо выражение будет $(x — 4)$. Сдвиг на $1$ единицу вниз по оси $y$ означает, что $q = -1$.

Уравнение будет:

$$y = 0.5(x — 4)^2 — 1$$

Теперь раскроем скобки:

$$y = 0.5(x^2 — 8x + 16) — 1$$

Умножим каждое слагаемое на 0.5:

$$y = 0.5x^2 — 4x + 8 — 1$$

Упростим:

$$y = 0.5x^2 — 4x + 7$$

г) $y = -0.5x^2$:
Для параболы $y = -0.5x^2$, где $a = -0.5$, парабола открывается вниз и имеет коэффициент $|a| = 0.5$, что делает её более широкой по сравнению с параболой $y = -x^2$. Рассмотрим сдвиг этой параболы.

Сдвиг на $2$ единицы влево по оси $x$ означает, что $p = 2$, так как при сдвиге влево выражение будет $(x + 2)$. Сдвиг на $2$ единицы вверх по оси $y$ означает, что $q = 2$.

Уравнение будет:

$$y = -0.5(x + 2)^2 + 2$$

Теперь раскроем скобки:

$$y = -0.5(x^2 + 4x + 4) + 2$$

Умножим каждое слагаемое на $-0.5$:

$$y = -0.5x^2 — 2x — 2 + 2$$

Упростим:

$$y = -0.5x^2 — 2x$$