ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 256 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Запишите уравнение параболы в виде $y = a(x + p)^2 + q$, если известно, что она получена:
а) из параболы $y = x^2$ сдвигом вдоль оси $x$ на 5 единиц влево и вдоль оси $y$ на 3 единицы вниз;
б) из параболы $y = 2x^2$ сдвигом вдоль оси $y$ на 6 единиц вверх и вдоль оси $x$ на 1 единицу вправо;
в) из параболы $y = -5x^2$ сдвигом вдоль оси $x$ на 4 единицы влево и вдоль оси $y$ на 4 единицы вверх.

Парабола вида $y = a(x + p)^2 + q$ получена из параболы $y = ax^2$:
— Сдвигом на $(-p)$ единиц вдоль оси $x$;
— Сдвигом на $q$ единиц вдоль оси $y$;

а) Функция $y = x^2$:
$a = 1$, $p = 5$, $q = -3$;
$y = (x + 5)^2 — 3$;

б) Функция $y = 2x^2$:
$a = 2$, $p = -1$, $q = 6$;
$y = 2(x — 1)^2 + 6$;

в) Функция $y = -5x^2$:
$a = -5$, $p = 4$, $q = 4$;
$y = -5(x + 4)^2 + 4$;

Парабола вида $y = a(x + p)^2 + q$ получена из параболы $y = ax^2$:
— Сдвигом на $(-p)$ единиц вдоль оси $x$;
— Сдвигом на $q$ единиц вдоль оси $y$;

а) Функция $y = x^2$:
Для функции $y = x^2$, когда $a = 1$, вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Если парабола сдвигается на $5$ единиц влево по оси $x$, то это означает, что значение $p = 5$. Таким образом, выражение $(x + 5)$ сдвигает параболу на 5 единиц влево, так как при $p = 5$, $x$ должно быть увеличено на 5 единиц для того, чтобы $x$ достиг нового значения, что делает его отрицательным при сдвиге влево. Также, если парабола сдвигается вниз на 3 единицы по оси $y$, то это означает, что значение $q = -3$. Это сдвигает всю параболу вниз, и результат будет таким:

$$y = (x + 5)^2 — 3$$

Ответ: $y = (x + 5)^2 — 3$.

б) Функция $y = 2x^2$:
В данном случае исходная парабола имеет вид $y = 2x^2$, где $a = 2$. Это означает, что парабола более узкая, чем стандартная парабола $y = x^2$, так как коэффициент перед $x^2$ больше 1. Если эта парабола сдвигается на 1 единицу вправо, то это означает, что $p = -1$, так как знак перед $p$ меняется на противоположный при сдвиге вправо. Следовательно, выражение $(x — 1)$ сдвигает параболу на 1 единицу вправо. Кроме того, если парабола сдвигается вверх на 6 единиц, это означает, что $q = 6$. Таким образом, новая парабола будет описана следующим уравнением:

$$y = 2(x — 1)^2 + 6$$

Ответ: $y = 2(x — 1)^2 + 6$.

в) Функция $y = -5x^2$:
Здесь исходная парабола имеет вид $y = -5x^2$, где $a = -5$, что означает, что парабола открывается вниз (так как коэффициент перед $x^2$ отрицательный), и она довольно узкая из-за значения $|a| = 5$. Если парабола сдвигается на 4 единицы влево, то это означает, что $p = 4$, так как сдвиг влево заставляет знак $p$ быть положительным. Таким образом, выражение $(x + 4)$ сдвигает параболу на 4 единицы влево. Если парабола сдвигается на 4 единицы вверх по оси $y$, это означает, что $q = 4$. Следовательно, уравнение параболы после сдвига будет следующим:

$$y = -5(x + 4)^2 + 4$$

Ответ: $y = -5(x + 4)^2 + 4$.