ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 254 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Параболу $y = x^2$ сдвинули на несколько единиц вдоль оси $x$ так, что она прошла через точку $M$. Запишите формулу, соответствующую новой параболе, если точка $M$ имеет координаты:
а) $x = 0$, $y = 4$;
б) $x = -4$, $y = 4$.

Сколько решений имеет задача в каждом случае?

Пусть $p$ — расстояние, на которое переместилась парабола $y = x^2$:

а) Через точку $M(0; 4)$:

$$y = (x + p)^2$$ $$4 = (0 + p)^2$$ $$4 = p^2$$ $$p = \pm 2$$

Функция: $y = (x \pm 2)^2$;
Ответ: два решения.

б) Через точку $M(-4; 4)$:

$$y=(x+p{)}^2$$

$$y = (x + p)^2$$ $$4=(-4+p{)}^2$$

$$4 = (-4 + p)^2$$ $$4=p^2-8p+16$$

$$4 = p^2 — 8p + 16$$ $$p^2-8p+12=0$$

$$p^2 — 8p + 12 = 0$$ $$D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16$$

Тогда:

$$p_1 = \frac{8 — 4}{2} = 2 \quad \text{и} \quad p_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6$$

Функция: $y = (x + 2)^2$ или $y = (x + 6)^2$;
Ответ: два решения.

Пусть $p$ — расстояние, на которое переместилась парабола $y = x^2$:

а) Через точку $M(0; 4)$:
Парабола $y = x^2$ после сдвига будет иметь вид $y = (x + p)^2$, где $p$ — это расстояние, на которое перемещена парабола вдоль оси $x$.
Так как точка $M(0; 4)$ лежит на графике этой функции, подставим её координаты $x = 0$ и $y = 4$ в уравнение:

$$4 = (0 + p)^2$$

Упростим выражение:

$$4 = p^2$$

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$p = \pm 2$$

Это означает, что парабола может быть перемещена либо на $+2$ единицы, либо на $-2$ единицы вдоль оси $x$.
Таким образом, уравнение новой параболы будет:

$$y = (x \pm 2)^2$$

Ответ: два решения.

б) Через точку $M(-4; 4)$:
Аналогично предыдущему примеру, уравнение сдвинутой параболы будет $y = (x + p)^2$. Подставляем координаты точки $M(-4; 4)$, то есть $x = -4$ и $y = 4$, в уравнение:

$$4 = (-4 + p)^2$$

Теперь раскрываем скобки:

$$4 = p^2 — 8p + 16$$

Приводим подобные слагаемые:

$$p^2 — 8p + 16 — 4 = 0$$ $$p^2 — 8p + 12 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ имеет вид:

$$D = b^2 — 4ac$$

Для нашего уравнения $p^2 — 8p + 12 = 0$ коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -8$, $c = 12$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 — 48 = 16$$

Так как дискриминант $D = 16$ больше нуля, у уравнения есть два различных корня, которые можно найти по формуле:

$$p_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad p_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$p_1=\frac{-(-8)-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{8-4}{2}=2$$

$$p_1 = \frac{-(-8) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 — 4}{2} = 2$$ $$p_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 4}{2} = 6$$

Таким образом, два возможных значения для $p$ равны $2$ и $6$.
Следовательно, уравнения для сдвинутых парабол будут:

$$y = (x + 2)^2 \quad \text{или} \quad y = (x + 6)^2$$

Ответ: два решения.