ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 251 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции:
а) $y = x^2 — 2x + 3$;
б) $y = x^2 + 4x$;
в) $y = x^2 + 6x + 8$;
г) $y = x^2 — 4x + 4$.

а) $y = x^2 — 2x + 3$:
$y = x^2 — 2x + 1 + 2$;
$y = (x — 1)^2 + 2$;
Вершина параболы: $(1; 2)$;
Уравнение оси симметрии: $x = 1$;
Координаты некоторых точек:

б) $y = x^2 + 4x$:
$y = x^2 + 4x + 4 — 4$;
$y = (x + 2)^2 — 4$;
Вершина параболы: $(-2; -4)$;
Уравнение оси симметрии: $x = -2$;
Координаты некоторых точек:

в) $y = x^2 + 6x + 8$:
$y = x^2 + 6x + 9 — 1$;
$y = (x + 3)^2 — 1$;
Вершина параболы: $(-3; -1)$;
Уравнение оси симметрии: $x = -3$;
Координаты некоторых точек:

г) $y = x^2 — 4x + 4$:
$y = (x — 2)^2$;
Вершина параболы: $(2; 0)$;
Уравнение оси симметрии: $x = 2$;
Координаты некоторых точек:

а) $y = x^2 — 2x + 3$:

Разложим на полный квадрат:

$$y = x^2 — 2x + 3 = x^2 — 2x + 1 + 2 = (x — 1)^2 + 2$$

Вершина параболы находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$ для уравнения вида $y = ax^2 + bx + c$. Подставляем $a = 1, b = -2$:

$$x = \frac{-(-2)}{2(1)} = \frac{2}{2} = 1$$

Теперь подставим $x = 1$ в исходное уравнение, чтобы найти значение $y$:

$$y = 1^2 — 2(1) + 3 = 1 — 2 + 3 = 2$$

Таким образом, вершина параболы $(1; 2)$.
3) Уравнение оси симметрии:
Ось симметрии для параболы, представленной в виде $y = (x — h)^2 + k$, где $(h; k)$ — вершина, всегда проходит через $x = h$. В нашем случае $h = 1$, следовательно, уравнение оси симметрии:

$$x = 1$$

Координаты некоторых точек:
Для $x = 0$:

$$y = 0^2 — 2(0) + 3 = 3 \quad \text{(точка (0; 3))}$$

Для $x = 2$:

$$y=2^2-2(2)+3=4-4+3=3\text{(точка (2; 3))}$$

$$y = 2^2 — 2(2) + 3 = 4 — 4 + 3 = 3 \quad \text{(точка (2; 3))}$$

б) $y = x^2 + 4x$:

Разложим на полный квадрат:

$$y = x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 — 4 = (x + 2)^2 — 4$$

Вершина параболы:
Для уравнения вида $y = (x + 2)^2 — 4$ вершина находится в точке $(-2; -4)$, так как $h = -2$, а $k = -4$.

Уравнение оси симметрии:
Ось симметрии проходит через $x = -2$.

Координаты некоторых точек:
Для $x = 0$:

$$y = 0^2 + 4(0) = 0 \quad \text{(точка (0; 0))}$$

Для $x = -1$:

$$y=(-1{)}^2+4(-1)=1-4=-3\text{(точка (-1; -3))}$$

$$y = (-1)^2 + 4(-1) = 1 — 4 = -3 \quad \text{(точка (-1; -3))}$$

в) $y = x^2 + 6x + 8$:

Разложим на полный квадрат:

$$y = x^2 + 6x + 8 = x^2 + 6x + 9 — 1 = (x + 3)^2 — 1$$

Вершина параболы:
Для уравнения $y = (x + 3)^2 — 1$ вершина находится в точке $(-3; -1)$.

Уравнение оси симметрии:
Ось симметрии проходит через $x = -3$.

Координаты некоторых точек:
Для $x = 0$:

$$y = 0^2 + 6(0) + 8 = 8 \quad \text{(точка (0; 8))}$$

Для $x = -2$:

$$y=(-2{)}^2+6(-2)+8=4-12+8=0\text{(точка (-2; 0))}$$

$$y = (-2)^2 + 6(-2) + 8 = 4 — 12 + 8 = 0 \quad \text{(точка (-2; 0))}$$

г) $y = x^2 — 4x + 4$:

Разложим на полный квадрат:

$$y = x^2 — 4x + 4 = (x — 2)^2$$

Вершина параболы:
Для уравнения $y = (x — 2)^2$ вершина находится в точке $(2; 0)$.

Уравнение оси симметрии:
Ось симметрии проходит через $x = 2$.

Координаты некоторых точек:
Для $x = 0$:

$$y = 0^2 — 4(0) + 4 = 4 \quad \text{(точка (0; 4))}$$

Для $x = 1$:

$$y=1^2-4(1)+4=1-4+4=1\text{(точка (1; 1))}$$

$$y = 1^2 — 4(1) + 4 = 1 — 4 + 4 = 1 \quad \text{(точка (1; 1))}$$