ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел (кроме случая деления на 0) есть число рациональное.

1) Возьмем два рациональных числа:
$\frac{p}{q}$ и $\frac{r}{s}$, где $p,q,r,s$ — целые числа;

2) Найдем сумму этих чисел:
$\frac{p}{q}+\frac{r}{s}=\frac{ps+qr}{qs}$;

3) Найдем разность этих чисел:
$\frac{p}{q}-\frac{r}{s}=\frac{ps-qr}{qs}$;

4) Найдем произведение этих чисел:
$\frac{p}{q}\cdot \frac{r}{s}=\frac{pr}{qs}$;

5) Найдем частное этих чисел:
$\frac{p}{q}:\frac{r}{s}=\frac{p}{q}\cdot \frac{s}{r}=\frac{ps}{qr}$;

6) Числа $ps,qr,pr$ и $qs$ являются целыми, так как целые числа замкнуты относительно операции умножения;

7) Тогда числа $(ps+qr)$ и $(pq-qr)$ также являются целыми, так как целые числа замкнуты относительно операций сложения и вычитания;

8) Таким образом, числителем и знаменателем полученного во всех исходных выражениях числа являются целые числа, следовательно это число рациональное, что и требовалось доказать.

1) Пусть у нас есть два рациональных числа:
$\frac{p}{q}$ и $\frac{r}{s}$, где $p,q,r,s$ — целые числа, а $q\mathrm{\ne }0$ и $s\mathrm{\ne }0$, так как знаменатели не могут быть равны нулю.

Рациональные числа определяются как числа, которые могут быть выражены в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа, а знаменатель не равен нулю.

2) Рассмотрим операцию сложения этих двух чисел. Чтобы найти сумму двух дробей с разными знаменателями, мы должны привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{p}{q}$ и $\frac{r}{s}$ будет $qs$, так как это произведение знаменателей $q$ и $s$.

Теперь выпишем сложение дробей, приведя их к общему знаменателю:

$$\frac{p}{q}+\frac{r}{s}=\frac{p\cdot s}{q\cdot s}+\frac{r\cdot q}{s\cdot q}=\frac{ps+qr}{qs}$$

Здесь числитель нового выражения получается как сумма числителей исходных дробей, умноженных на противоположные знаменатели. Знаменатель у обеих дробей одинаков, равен $qs$.

3) Рассмотрим операцию вычитания этих двух чисел. Для вычитания дробей с разными знаменателями также нужно привести их к общему знаменателю. Мы используем тот же общий знаменатель $qs$, как и в случае с сложением.

Теперь выпишем разность дробей:

$$\frac{p}{q}-\frac{r}{s}=\frac{p\cdot s}{q\cdot s}-\frac{r\cdot q}{s\cdot q}=\frac{ps-qr}{qs}$$

Здесь числитель нового выражения получается как разность числителей исходных дробей, умноженных на противоположные знаменатели. Знаменатель у обеих дробей одинаков, равен $qs$.

4) Рассмотрим операцию умножения этих двух чисел. Для умножения двух дробей, умножаем их числители друг на друга и знаменатели друг на друга. Таким образом, произведение дробей выглядит следующим образом:

$$\frac{p}{q}\cdot \frac{r}{s}=\frac{p\cdot r}{q\cdot s}=\frac{pr}{qs}$$

Здесь мы умножаем числители $p$ и $r$, а также знаменатели $q$ и $s$. Результат всегда будет рациональным числом, так как числитель и знаменатель — целые числа.

5) Рассмотрим операцию деления этих двух чисел. Деление дробей эквивалентно умножению первой дроби на обратную дробь второй. То есть, чтобы разделить дробь $\frac{p}{q}$ на дробь $\frac{r}{s}$, нужно умножить её на обратную дробь $\frac{s}{r}$:

$$\frac{p}{q}:\frac{r}{s}=\frac{p}{q}\cdot \frac{s}{r}=\frac{p\cdot s}{q\cdot r}=\frac{ps}{qr}$$

Здесь мы меняем местами числители и знаменатели второй дроби, и затем выполняем операцию умножения, как это было описано в пункте 4.

6) Рассмотрим числовые выражения, такие как $ps$, $qr$, $pr$ и $qs$. Эти числа являются целыми, поскольку целые числа замкнуты относительно операции умножения. То есть, если $p$, $q$, $r$, и $s$ — целые числа, то произведение любых двух целых чисел также будет целым числом. Это свойство операций с целыми числами позволяет нам утверждать, что все числовые выражения в числителе и знаменателе будут целыми.

7) Таким образом, числители $(ps+qr)$ и $(ps-qr)$, а также числитель $pr$ и знаменатель $qs$ также являются целыми числами. Это происходит, потому что целые числа замкнуты относительно операций сложения, вычитания и умножения. Следовательно, все операции, которые мы выполняем над целыми числами, остаются внутри множества целых чисел.

8) Таким образом, числителем и знаменателем полученного в любом из рассмотренных выражений числа являются целые числа. Это означает, что результат операций сложения, вычитания, умножения и деления рациональных чисел также будет рациональным числом, так как результат всегда может быть представлен в виде дроби с целыми числителями и знаменателями. Следовательно, результат каждого из этих операций также является рациональным числом, что и требовалось доказать.