ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 248 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Для каждой функции определите, какая линия является ее графиком, и покажите схематически ее положение в координатной плоскости:

а) $y = (x — 1)^2$, $y = 1 — x$, $y = -\frac{1}{x}$, $y = 1 — x^2$;

б) $y = 6 + x^2$, $y = (x + 6)^2$, $y = 6 + x$, $y = \frac{6}{x}$.

а)

$y = (x — 1)^2$:
Парабола ветвями вверх, вершина находится в точке $(1; 0)$.

$y = 1 — x$:
Прямая, график убывающий, пересекает ось $x$ в точке $(1; 0)$.

$y = -\frac{1}{x}$:
Гипербола, лежащая во II и IV четвертях.

$y = 1 — x^2$:
Парабола ветвями вниз, вершина находится в точке $(0; 1)$.

б)

$y = 6 + x^2$:
Парабола ветвями вверх, вершина находится в точке $(0; 6)$.

$y = (x + 6)^2$:
Парабола ветвями вверх, вершина находится в точке $(-6; 0)$.

$y = 6 + x$:
Прямая, график возрастающий, пересекает ось $x$ в точке $(-6; 0)$.

$y = \frac{6}{x}$:
Гипербола, лежащая в I и III четвертях.

а)

$y = (x — 1)^2$:
Это уравнение описывает параболу, которая открывается вверх. Коэффициент перед квадратом $1$ означает, что парабола симметрична относительно оси $y$, и ее ветви направлены вверх, так как $a > 0$. Вершина этой параболы находится в точке $(1; 0)$, так как внутри скобок $x — 1$ имеется сдвиг на 1 единицу вправо. Вершина расположена на оси $x$, так как добавочного слагаемого после квадратичного члена нет.

$y = 1 — x$:
Это уравнение представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом $-1$, что указывает на убывающее направление графика. Прямая пересекает ось $x$ в точке $(1; 0)$, поскольку при $y = 0$ уравнение становится $1 — x = 0$, откуда $x = 1$. Таким образом, прямая имеет отрицательный угловой коэффициент и наклоняется вниз.

$y = -\frac{1}{x}$:
Это уравнение гиперболы, которая лежит в II и IV четвертях. График гиперболы асимптотически приближается к осям $x$ и $y$, но не пересекает их. Когда $x$ становится очень большим положительным или отрицательным, $y$ стремится к нулю, а при $x \to 0$ значение $y$ стремится к бесконечности. График гиперболы в первой и третьей четверти имеет такие же характеристики, но при изменении знаков на противоположные, он отражается относительно оси $x$.

$y = 1 — x^2$:
Это уравнение описывает параболу, направленную вниз, так как коэффициент перед квадратом равен $-1$, что указывает на направление ветвей параболы вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; 1)$, так как в уравнении нет сдвига по оси $x$, а добавочный член $1$ сдвигает вершину на 1 единицу вверх по оси $y$. Парабола симметрична относительно оси $y$.

б)

$y = 6 + x^2$:
Это уравнение представляет собой параболу, открывающуюся вверх, так как коэффициент перед $x^2$ равен $1$, что указывает на позитивное направление ветвей. Вершина параболы находится в точке $(0; 6)$, так как сдвиг по оси $x$ отсутствует, а добавочный член $6$ сдвигает вершину на 6 единиц вверх по оси $y$. Это уравнение описывает стандартную параболу, просто смещенную вверх.

$y = (x + 6)^2$:
Это уравнение также описывает параболу, открывающуюся вверх, так как коэффициент перед $(x + 6)^2$ равен $1$. Вершина параболы находится в точке $(-6; 0)$, так как сдвиг по оси $x$ осуществляется на 6 единиц влево. Таким образом, парабола сдвинута на 6 единиц влево от начала координат, и ее ветви направлены вверх.

$y = 6 + x$:
Это уравнение представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом $1$, что указывает на возрастающий график. Прямая пересекает ось $x$ в точке $(-6; 0)$, так как при $y = 0$ уравнение становится $6 + x = 0$, откуда $x = -6$. Линия имеет положительный наклон, так как угловой коэффициент положительный.

$y = \frac{6}{x}$:
Это уравнение гиперболы, лежащей в I и III четвертях. График гиперболы асимптотически приближается к осям $x$ и $y$, но не пересекает их. При $x \to \infty$ и $x \to -\infty$ $y$ стремится к нулю, а при $x \to 0$ значение $y$ стремится к бесконечности, как и в случае с гиперболой в других частях координатной плоскости.