ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 241 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

С помощью схематического графика определите, имеет ли функция нули, и в случае утвердительного ответа найдите их, решив соответствующее уравнение:

а) $y = \frac{1}{3}x^2 + 3$;
б) $y = -\frac{1}{2}x^2 — 6$;
в) $y = 3 — \frac{1}{2}x^2$;
г) $y = \frac{1}{2}x^2 — 8$.

У функции вида $y = ax^2 + q$:

• Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх;
• Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз;
• Вершина параболы находится в точке $(0; q)$.

а) $y = \frac{1}{3}x^2 + 3$:
Ветви параболы направлены вверх, так как $a = \frac{1}{3} > 0$;
Вершина находится в точке $(0; 3)$, то есть над осью $x$;

Ответ: не имеет.

б) $y = -\frac{1}{2}x^2 — 6$:
Ветви параболы направлены вниз, так как $a = -\frac{1}{2} < 0$;
Вершина находится в точке $(0; -6)$, то есть под осью $x$;

Ответ: не имеет.

в) $y = 3 — \frac{1}{2}x^2$:
Ветви параболы направлены вниз, так как $a = -\frac{1}{2} < 0$;
Вершина находится в точке $(0; 3)$, то есть над осью $x$;

Функция имеет нули:

$$3 — \frac{1}{2}x^2 = 0;$$ $$-\frac{1}{2}x^2 = -3 \quad | \cdot (-2);$$ $$x^2 = 6;$$ $$x = \pm \sqrt{6};$$

Ответ: $x = \pm \sqrt{6}$.

г) $y = \frac{1}{2}x^2 — 8$:
Ветви параболы направлены вверх, так как $a = \frac{1}{2} > 0$;
Вершина находится в точке $(0; -8)$, то есть под осью $x$;

Функция имеет нули:

$$\frac{1}{2}{x}^2-8=0;$$

$$\frac{1}{2}x^2 — 8 = 0;$$ $$\frac{1}{2}{x}^2=8\mathrm{\mid }\cdot 2;$$

$$\frac{1}{2}x^2 = 8 \quad | \cdot 2;$$ $$x^2=16;$$

$$x^2 = 16;$$ $$x = \pm 4;$$

Ответ: $x = \pm 4$.

У функции вида $y = ax^2 + q$:

Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх. Это означает, что график функции будет похож на «U», и вершина параболы будет являться минимальной точкой, то есть все значения функции будут больше или равны $q$, где вершина находится в точке $(0; q)$. Таким образом, парабола не пересечет ось $x$, если вершина находится над осью $x$ (то есть $q > 0$). Если $q$ меньше нуля, парабола будет пересекать ось $x$, так как для некоторых значений $x$ функция примет отрицательные значения.

Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз. В этом случае парабола будет открываться вниз, и вершина будет максимальной. Это означает, что все значения функции будут меньше или равны $q$, где вершина расположена в точке $(0; q)$. Парабола будет пересекать ось $x$, если вершина находится выше оси $x$ (то есть $q > 0$).

Вершина параболы находится в точке $(0; q)$. Для всех парабол, заданных уравнением $y = ax^2 + q$, вершина будет в точке $(0; q)$, где $q$ является сдвигом вдоль оси $y$. Если $a > 0$, эта точка будет минимальной на графике, а если $a < 0$, то максимальной.

а) $y = \frac{1}{3}x^2 + 3$:

В данном уравнении $a = \frac{1}{3}$, что больше нуля. Это означает, что ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы находится в точке $(0; 3)$, так как сдвиг по оси $y$ равен $3$.

Парабола открывается вверх, и её вершина находится над осью $x$, в точке $(0; 3)$. Это означает, что функция будет принимать только положительные значения для всех $x$, так как минимальное значение функции будет равно $3$, а все другие значения функции будут больше этого числа.

Таким образом, функция не пересекает ось $x$, так как её минимальное значение больше нуля. Ответ: не имеет.

б) $y = -\frac{1}{2}x^2 — 6$:

В данном уравнении $a = -\frac{1}{2}$, что меньше нуля. Это означает, что ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы находится в точке $(0; -6)$, так как сдвиг по оси $y$ равен $-6$.

Парабола открывается вниз, и её вершина находится под осью $x$, в точке $(0; -6)$. Это означает, что функция будет принимать только отрицательные значения для всех $x$, так как максимальное значение функции будет равно $-6$, а все другие значения функции будут меньше этого числа.

Таким образом, функция не пересекает ось $x$, так как её максимальное значение меньше нуля. Ответ: не имеет.

в) $y = 3 — \frac{1}{2}x^2$:

В данном уравнении $a = -\frac{1}{2}$, что меньше нуля. Это означает, что ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы находится в точке $(0; 3)$, так как сдвиг по оси $y$ равен $3$.

Парабола открывается вниз, и её вершина находится над осью $x$, в точке $(0; 3)$. Это означает, что функция будет принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от значения $x$.

Для нахождения точек пересечения с осью $x$ приравняем $y$ к нулю:

$$3 — \frac{1}{2}x^2 = 0$$

Решим это уравнение:

$$-\frac{1}{2}x^2 = -3 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 6$$ $$x = \pm \sqrt{6}$$

Таким образом, функция пересекает ось $x$ в точках $x = \pm \sqrt{6}$. Ответ: $x = \pm \sqrt{6}$.

г) $y$$y = \frac{1}{2}x^2 — 8$:

В данном уравнении $a = \frac{1}{2}$, что больше нуля. Это означает, что ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы находится в точке $(0; -8)$, так как сдвиг по оси $y$ равен $-8$.

Парабола открывается вверх, и её вершина находится под осью $x$, в точке $(0; -8)$. Это означает, что функция будет принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от значения $x$.

Для нахождения точек пересечения с осью $x$ приравняем $y$ к нулю:

$$\frac{1}{2}x^2 — 8 = 0$$

Решим это уравнение:

$$\frac{1}{2}x^2 = 8 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 16$$ $$x = \pm 4$$

Таким образом, функция пересекает ось $x$ в точках $x = \pm 4$. Ответ: $x = \pm 4$.