ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 236 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = x^2 — 4$;
б) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3$;
в) $y = -x^2 + 1$;
г) $y = -2x^2 — 1$.

Для каждой функции укажите промежуток возрастания и промежуток убывания, а также наибольшее (или наименьшее) значение.

а) $y = x^2 — 4$:

Функция возрастает на участке $x \in (0; +\infty)$;

Функция убывает на участке $x \in (-\infty; 0)$;

Наименьшее значение: $y_{\text{min}} = -4$.

б) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3$:

Функция возрастает на участке $x \in (0; +\infty)$;

Функция убывает на участке $x \in (-\infty; 0)$;

Наименьшее значение: $y_{\text{min}} = 3$.

в) $y = -x^2 + 1$:

Функция возрастает на участке $x \in (-\infty; 0)$;

Функция убывает на участке $x \in (0; +\infty)$;

Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = 1$.

г) $y = -2x^2 — 1$:

Функция возрастает на участке $x \in (-\infty; 0)$;

Функция убывает на участке $x \in (0; +\infty)$;

Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = -1$.

а) $y = x^2 — 4$:

Это стандартная парабола, которая открывается вверх. Уравнение имеет вид $y = x^2 + c$, где $c = -4$ — это сдвиг вдоль оси $y$, который переносит вершину параболы вниз на 4 единицы. Вертикальная ось симметрии этой параболы совпадает с осью $y$, а её вершина находится в точке $(0, -4)$.

Промежуток возрастания: Парабола возрастает, начиная с точки её вершины. Это происходит на участке $x \in (0; +\infty)$, так как для всех значений $x > 0$ функция начинает увеличиваться.

Промежуток убывания: Парабола убывает на участке $x \in (-\infty; 0)$, так как для всех значений $x < 0$ функция начинает уменьшаться.

Наименьшее значение: Парабола имеет наименьшее значение в вершине, так как она открывается вверх. Наименьшее значение $y_{\text{min}}$ функции равно $-4$, так как вершина параболы находится в точке $(0, -4)$.

б) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3$:

Это также парабола, которая открывается вверх, но её коэффициент при $x^2$ меньше единицы ($\frac{1}{2}$), что делает её более широкой по сравнению с параболой $y = x^2$. Вертикальная ось симметрии остаётся вертикальной, и вершина параболы находится в точке $(0, 3)$, так как сдвиг вдоль оси $y$ равен $+3$.

Промежуток возрастания: Парабола возрастает на участке $x \in (0; +\infty)$, так как для всех значений $x > 0$ функция увеличивается.

Промежуток убывания: Парабола убывает на участке $x \in (-\infty; 0)$, так как для всех значений $x < 0$ функция убывает.

Наименьшее значение: Парабола имеет наименьшее значение в вершине, так как она открывается вверх. Наименьшее значение $y_{\text{min}}$ функции равно $3$, так как вершина параболы находится в точке $(0, 3)$.

в) $y = -x^2 + 1$:

Это парабола, которая открывается вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -1$). Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$, так как сдвиг вдоль оси $y$ равен $+1$. Парабола имеет ось симметрии, которая совпадает с осью $y$.

Промежуток возрастания: Парабола возрастает на участке $x \in (-\infty; 0)$, так как для всех значений $x < 0$ функция увеличивается.

Промежуток убывания: Парабола убывает на участке $x \in (0; +\infty)$, так как для всех значений $x > 0$ функция уменьшается.

Наибольшее значение: Парабола имеет наибольшее значение в вершине, так как она открывается вниз. Наибольшее значение $y_{\text{max}}$ функции равно $1$, так как вершина параболы находится в точке $(0, 1)$.

г) $y = -2x^2 — 1$:

Это парабола, которая открывается вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -2$). Сдвиг вдоль оси $y$ равен $-1$, что перемещает вершину параболы вниз на 1 единицу. Парабола будет более крутой, чем $y = -x^2$, так как коэффициент $-2$ больше по абсолютной величине.

Промежуток возрастания: Парабола возрастает на участке $x \in (-\infty; 0)$, так как для всех значений $x < 0$ функция увеличивается.

Промежуток убывания: Парабола убывает на участке $x \in (0; +\infty)$, так как для всех значений $x > 0$ функция уменьшается.

Наибольшее значение: Парабола имеет наибольшее значение в вершине, так как она открывается вниз. Наибольшее значение $y_{\text{max}}$ функции равно $-1$, так как вершина параболы находится в точке $(0, -1)$.