ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 234 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задайте формулой параболу, изображенную на рисунке 2.27, $a$–$z$, если известно, что она получена сдвигом вдоль оси $y$ параболы:

а) $y = x^2$;

б) $y = \frac{1}{2}x^2$;

в) $y = -2x^2$;

г) $y = -x^2$.

У функции вида $y = ax^2$:
Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх;
Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз;
Чем больше по модулю параметр $a$, тем «круче» график параболы.

а) $y = x^2 + 2$;
б) $y = \frac{1}{2}x^2 — 1$;
в) $y = -2x^2 + 4$;
г) $y = -x^2 — 3$.

У функции вида $y = ax^2$:
Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх;
Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз;
Чем больше по модулю параметр $a$, тем «круче» график параболы.

Разбор:

Парабола имеет уравнение вида $y = ax^2$, где $a$ — это коэффициент, который определяет форму и положение параболы на графике. Парабола всегда симметрична относительно оси $y$, а её вершина находится в начале координат $(0, 0)$, если нет сдвигов.

Если $a > 0$, то парабола открывается вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный. Это означает, что вершина параболы будет находиться в точке $(0, 0)$, и график будет «вытянут» вверх. Чем больше значение $a$, тем «круче» (уже) будет парабола, то есть её ветви будут более вертикальными.

Если $a < 0$, то парабола открывается вниз. В данном случае график будет направлен вниз, и вершина параболы будет в точке $(0, 0)$, но сама парабола будет «вогнутой» вниз. Чем меньше значение $a$ по модулю, тем «шире» будет парабола, то есть её ветви будут более горизонтальными.

Чем больше по модулю параметр $a$, тем «круче» график параболы. Это означает, что значение $a$ определяет, насколько крутыми или широкими будут ветви параболы. Если $|a|$ больше, то парабола становится уже, и её ветви растягиваются ближе к вертикальной оси. Если $|a|$ меньше, то парабола становится шире, и её ветви будут более горизонтальными.

Пример:

а) $y = x^2 + 2$

В этом уравнении коэффициент при $x^2$ равен $1$, а добавленное число $2$ сдвигает параболу вверх на 2 единицы. Парабола всё равно открывается вверх, так как $a = 1 > 0$. Но её вершина теперь находится в точке $(0, 2)$, так как $y = 2$ — это сдвиг вдоль оси $y$.

б) $y = \frac{1}{2}x^2 — 1$

В этом уравнении коэффициент при $x^2$ равен $\frac{1}{2}$, что меньше 1, значит, парабола будет более широкой, чем при $y = x^2$. Добавление $-1$ сдвигает параболу вниз на 1 единицу. Вершина параболы будет находиться в точке $(0, -1)$.

в) $y = -2x^2 + 4$

Здесь коэффициент при $x^2$ равен $-2$, что означает, что парабола будет открываться вниз. Чем больше по модулю $|a|$, тем более крутая будет парабола. В этом случае она будет «крутой» и направлена вниз. Добавление $4$ сдвигает параболу вверх на 4 единицы, и её вершина будет находиться в точке $(0, 4)$.

г) $y = -x^2 — 3$

Здесь коэффициент при $x^2$ равен $-1$, то есть парабола открывается вниз. Парабола будет менее крутой по сравнению с уравнением $y = -2x^2$, так как значение $|a| = 1$. Добавление $-3$ сдвигает параболу вниз на 3 единицы. Вершина параболы будет в точке $(0, -3)$.

Таким образом, для каждой из этих парабол:

а) $y = x^2 + 2$ — парабола открывается вверх, сдвинута на 2 единицы вверх.

б) $y = \frac{1}{2}x^2 — 1$ — парабола открывается вверх, более широкая, сдвинута на 1 единицу вниз.

в) $y = -2x^2 + 4$ — парабола открывается вниз, более крутая, сдвинута на 4 единицы вверх.

г) $y = -x^2 — 3$ — парабола открывается вниз, менее крутая, сдвинута на 3 единицы вниз.