ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 232 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Постройте параболу $y = \frac{1}{4}x^2$.

2) В этой же системе координат проведите прямую $d$, уравнение которой $y = -1$, и отметьте точку $F(0; 1)$.

3) Отметьте на параболе несколько точек с целыми координатами и для каждой из них вычислите расстояния до точки $F$ и до прямой $d$.

4) Докажите, что любая точка параболы $y = \frac{1}{4}x^2$ находится на одинаковом расстоянии от точки $F$ и от прямой $d$.

Указание. Возьмите произвольную точку параболы $\left(x; \frac{1}{4}x^2\right)$. Составьте выражения для нахождения расстояний от этой точки до точки $F$ и до прямой $d$.

Функция: $y = \frac{1}{4}x^2$.

1) Таблица значений и график функции:

2) Проведем прямую $d$, уравнение которой $y = -1$; отметим точку $F(0; 1)$ и точки параболы $A(-2; 1)$, $B(-6; 9)$, $C(4; 4)$.

3) Вычислим искомые расстояния по теореме Пифагора:

$$FA = \sqrt{(-2 — 0)^2 + (1 — 1)^2} = \sqrt{4 + 0} = 2;$$ $$FB = \sqrt{(-6 — 0)^2 + (9 — 1)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10;$$ $$FC = \sqrt{(4 — 0)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5;$$

Расстояние от точки $A$ до прямой $d$:

$$|1 — (-1)| = 2;$$

Расстояние от точки $B$ до прямой $d$:

$$|9 — (-1)| = 10;$$

Расстояние от точки $C$ до прямой $d$:

$$|4 — (-1)| = 5;$$

4) Возьмем произвольную точку параболы $\left(x; \frac{1}{4}x^2\right)$:

• Расстояние от этой точки до точки $F$:

$$\sqrt{(x — 0)^2 + \left(\frac{1}{4}x^2 — 1\right)^2} = \sqrt{x^2 + \left(\frac{1}{4}x^2 — 1\right)^2} = \sqrt{x^2 + \frac{1}{16}x^4 — \frac{1}{2}x^2 + 1} = \sqrt{\frac{1}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + 1}.$$

• Расстояние от этой точки до прямой $d$:

$$\left|\frac{1}{4}x^2 — (-1)\right| = \left|\frac{1}{4}x^2 + 1\right| = \frac{1}{4}x^2 + 1.$$

Таким образом, эти расстояния равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Функция: $y = \frac{1}{4}x^2$.

1) Таблица значений и график функции:

Таблица значений функции показывает зависимость значения $y$ от значений $x$ для выбранных точек. Подставим различные значения $x$ в функцию и вычислим $y$:

• При $x = -6$, подставляем в функцию:

  $$y = \frac{1}{4}(-6)^2 = \frac{1}{4} \times 36 = 9.$$

• При $x = -4$, подставляем в функцию:

  $$y = \frac{1}{4}(-4)^2 = \frac{1}{4} \times 16 = 4.$$

• При $x = -2$, подставляем в функцию:

  $$y = \frac{1}{4}(-2)^2 = \frac{1}{4} \times 4 = 1.$$

• При $x = 0$, подставляем в функцию:

  $$y = \frac{1}{4}(0)^2 = 0.$$

• При $x = 2$, подставляем в функцию:

  $$y = \frac{1}{4}(2)^2 = \frac{1}{4} \times 4 = 1.$$

• При $x = 4$, подставляем в функцию:

  $$y = \frac{1}{4}(4)^2 = \frac{1}{4} \times 16 = 4.$$

• При $x = 6$, подставляем в функцию:

  $$y = \frac{1}{4}(6)^2 = \frac{1}{4} \times 36 = 9.$$

Таким образом, таблица значений функции будет выглядеть так:

График функции представляет собой параболу, направленную вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$.

2) Прямая $d$ и точки параболы:

Уравнение прямой $d$ имеет вид:

$$y = -1.$$

Это горизонтальная прямая, пересекающая ось $y$ в точке $y = -1$.

Теперь рассмотрим несколько точек параболы:

• Точка $F(0; 1)$ — это точка на оси $y$, находящаяся на расстоянии 1 от прямой $d$.
• Точка $A(-2; 1)$ — это точка на параболе с координатами $x = -2$ и $y = 1$.
• Точка $B(-6; 9)$ — это точка на параболе с координатами $x = -6$ и $y = 9$.
• Точка $C(4; 4)$ — это точка на параболе с координатами $x = 4$ и $y = 4$.

3) Вычисление расстояний по теореме Пифагора:

Расстояния от точки $F(0; 1)$ до других точек вычисляются с помощью теоремы Пифагора.

• Расстояние от точки $F(0; 1)$ до точки $A(-2; 1)$:

  $$FA = \sqrt{(-2 — 0)^2 + (1 — 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2.$$

• Расстояние от точки $F(0; 1)$ до точки $B(-6; 9)$:

  $$FB = \sqrt{(-6 — 0)^2 + (9 — 1)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.$$

• Расстояние от точки $F(0; 1)$ до точки $C(4; 4)$:

  $$FC = \sqrt{(4 — 0)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{(4)^2 + (3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5.$$

4) Расстояния от точек параболы до прямой $d$:

• Расстояние от точки $A(-2; 1)$ до прямой $d$:

  $$|1 — (-1)| = |1 + 1| = 2.$$

• Расстояние от точки $B(-6; 9)$ до прямой $d$:

  $$|9 — (-1)| = |9 + 1| = 10.$$

• Расстояние от точки $C(4; 4)$ до прямой $d$:

  $$|4 — (-1)| = |4 + 1| = 5.$$

Произвольная точка на параболе $($$\left(x; \frac{1}{4}x^2\right)$:

• Расстояние от точки $\left(x; \frac{1}{4}x^2\right)$ до точки $F(0; 1)$:

  $$\sqrt{(x — 0)^2 + \left(\frac{1}{4}x^2 — 1\right)^2} = \sqrt{x^2 + \left(\frac{1}{4}x^2 — 1\right)^2}.$$Раскроем квадрат:

  $$\left(\frac{1}{4}x^2 — 1\right)^2 = \frac{1}{16}x^4 — \frac{1}{2}x^2 + 1,$$тогда:

  $$\sqrt{x^2 + \frac{1}{16}x^4 — \frac{1}{2}x^2 + 1} = \sqrt{\frac{1}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + 1}.$$

• Расстояние от точки $\left(x; \frac{1}{4}x^2\right)$ до прямой $d$:

  $$\left|\frac{1}{4}x^2 — (-1)\right| = \left|\frac{1}{4}x^2 + 1\right| = \frac{1}{4}x^2 + 1.$$

Таким образом, расстояния от произвольной точки параболы $\left(x; \frac{1}{4}x^2\right)$ до точки $F(0; 1)$ и прямой $d$ равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.