ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 228 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции:

$y = \begin{cases} x + 3, & \text{если } x \leq 0 \\ 3x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

$y = \begin{cases} -2x^2, & \text{если } x < 0 \\ -x + 2, & \text{если } x \geq 0 \end{cases}$

Для каждой функции ответьте на вопрос: имеет ли функция наименьшее значение? наибольшее значение?

а) $y = \begin{cases} x + 3, & \text{если } x \leq 0 \\ 3x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

График состоит из:

1) прямой $y = x + 3$ при $x \leq 0$;

2) параболы $y = 3x^2$ при $x > 0$.

Функция имеет наименьшее значение (да/нет): да.
Наименьшее значение равно 0 (при $x \to +\infty$, $3x^2 \to +\infty$, но при $x = 0$ значение функции равно 3, а при $x < 0$ значения больше 3).

Функция имеет наибольшее значение (да/нет): нет.
Так как при $x > 0$ значения $y = 3x^2$ не ограничены сверху.

б) $y = \begin{cases} -2x^2, & \text{если } x < 0 \\ -x + 2, & \text{если } x \geq 0 \end{cases}$

График состоит из:

1) части параболы $y = -2x^2$ при $x < 0$;

2) прямой $y = -x + 2$ при $x \geq 0$.

Функция имеет наименьшее значение (да/нет): нет.
При $x \to -\infty$, $y = -2x^2 \to -\infty$, значит, наименьшего значения нет.

Функция имеет наибольшее значение (да/нет): да.
Наибольшее значение равно 2, достигается при $x = 0$.

а) $y = \begin{cases} x + 3, & \text{если } x \leq 0 \\ 3x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

График состоит из двух частей:

1) Для $x \leq 0$, у нас есть линейная функция $y = x + 3$, которая является прямой, имеющей угловой коэффициент 1 и пересекающей ось $y$ в точке $(0; 3)$.

2) Для $x > 0$, у нас есть парабола $y = 3x^2$, которая открывается вверх, и её вершина расположена в точке $(0; 0)$.

График функции будет выглядеть как сочетание прямой линии для $x \leq 0$, а затем параболы, начинающейся от точки $(0; 0)$ и увеличивающейся для положительных значений $x$.

Наименьшее значение:
График функции состоит из двух частей: для $x \leq 0$ это прямая, которая имеет постоянный рост, и для $x > 0$ это парабола, которая также возрастает. Когда $x \to +\infty$, значение функции $3x^2 \to +\infty$, и эта часть функции не имеет ограничений сверху. Однако, функция достигает минимального значения при $x = 0$, поскольку при $x = 0$, функция равна 3, и на этой точке значение минимальное среди всех других значений на графике.

Ответ: да, функция имеет наименьшее значение. Оно равно $y_{\text{min}} = 3$ при $x = 0$, потому что наибольший рост функции происходит после этого значения.

Наибольшее значение:
Парабола на участке $x > 0$ открывается вверх и стремится к бесконечности по мере увеличения $x$. Значение $y$ для $x > 0$ не ограничено, то есть функция будет возрастать на протяжении всего интервала $x > 0$. Следовательно, у этой функции нет наибольшего значения, так как оно может расти бесконечно.

Ответ: нет, функция не имеет наибольшего значения.

б) $y = \begin{cases} -2x^2, & \text{если } x < 0 \\ -x + 2, & \text{если } x \geq 0 \end{cases}$

График состоит из двух частей:

1) Для $x < 0$, у нас есть парабола $y = -2x^2$, которая открывается вниз, и её вершина находится в точке $(0; 0)$.

2) Для $x \geq 0$, у нас есть линейная функция $y = -x + 2$, которая имеет угловой коэффициент -1 и пересекает ось $y$ в точке $(0; 2)$.

График функции будет иметь вид: для отрицательных значений $x$ парабола, открывающаяся вниз, и для положительных значений $x$ прямая линия с отрицательным угловым коэффициентом.

Наименьшее значение:
Парабола $y = -2x^2$ открывается вниз и стремится к минус бесконечности по мере того, как $x \to -\infty$. Так как эта парабола уходит вниз, значение функции наименьшее не ограничено. Поэтому функция не имеет наименьшего значения.

Ответ: нет, функция не имеет наименьшего значения.

Наибольшее значение:
Для функции $y = -2x^2$ максимальное значение достигается в вершине параболы, то есть в точке $x = 0$, где значение функции равно 0. На участке $x \geq 0$, функция $y = -x + 2$ является линейной, и её значение постепенно уменьшается по мере увеличения $x$. Наибольшее значение функции достигается при $x = 0$, где $y = 2$.

Ответ: да, функция имеет наибольшее значение, равное $y_{\text{max}} = 2$, и это значение достигается при $x = 0$.