ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 223 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а)

$$y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \leq 0 \\ -x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$$

б)

$$y = \begin{cases} -2x^2, & \text{если } x < 0 \\ 2x^2, & \text{если } x \geq 0 \end{cases}$$

в)

$$y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \leq 0 \\ -\frac{1}{2}x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$$

Для каждой функции определите, является ли она возрастающей или убывающей.

а) $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \leq 0 \\ -x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

$y = x^2$ — уравнение параболы:

$y = -x^2$ — уравнение параболы:

б) $y = \begin{cases} -2x^2, & \text{если } x < 0 \\ 2x^2, & \text{если } x \geq 0 \end{cases}$

$y = -2x^2$ — уравнение параболы:

$y = 2x^2$ — уравнение параболы:

в) $y=$$$$y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \leq 0 \\ -\frac{1}{2}x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

$y = 2x^2$ — уравнение параболы:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & 8 & 2 & 0 \\ \hline \end{array}$$

$y = -\frac{1}{2}x^2$ — уравнение параболы:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 & 4 \\ \hline y & 0 & -2 & -8 \\ \hline \end{array}$$

$$\boxed{\text{Переписанный текст выше}}$$

а) $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \leq 0 \\ -x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

$y = x^2$ — уравнение параболы:

Для уравнения $y = x^2$, где $x \leq 0$, это стандартная парабола, которая открывается вверх. Парабола симметрична относительно оси $y$, и её вершина расположена в начале координат, то есть в точке $(0; 0)$. Мы можем вычислить значения $y$ для различных значений $x$, чтобы показать, как изменяется функция:

• При $x = -3$, $y = (-3)^2 = 9$.
• При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$.
• При $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$.
• При $x = 0$, $y = (0)^2 = 0$.

Таким образом, для этой части графика значения $y$ увеличиваются по мере того, как $|x|$ увеличивается.

$y = -x^2$ — уравнение параболы:

Для уравнения $y = -x^2$, где $x > 0$, это парабола, открывающаяся вниз. Парабола симметрична относительно оси $y$, и её вершина, как и в предыдущем случае, расположена в точке $(0; 0)$, но теперь её ветви направлены вниз. Мы можем вычислить значения $y$ для различных значений $x$:

• При $x = 1$, $y = -(1)^2 = -1$.
• При $x = 2$, $y = -(2)^2 = -4$.
• При $x = 3$, $y = -(3)^2 = -9$.

Значения $y$ будут уменьшаться по мере увеличения $x$, так как парабола открывается вниз.

График функции:

График функции будет иметь вид двух частей: для $x \leq 0$ будет парабола, открывающаяся вверх, а для $x > 0$ — парабола, открывающаяся вниз. Это будет разрывной график.

Убывающая функция:

Для $x > 0$ функция убывает, так как значения $y$ становятся всё более отрицательными по мере увеличения $x$. Таким образом, на интервале $(0; +\infty)$ функция убывает.

б) $y = \begin{cases} -2x^2, & \text{если } x < 0 \\ 2x^2, & \text{если } x \geq 0 \end{cases}$

$y = -2x^2$ — уравнение параболы:

Для уравнения $y = -2x^2$, где $x < 0$, это парабола, открывающаяся вниз. Коэффициент $-2$ делает параболу крутой, так как по модулю $|a| = 2$ — это довольно большое значение. Парабола будет резко опускаться вниз, и вершина параболы будет находиться в точке $(0; 0)$, так как $b = 0$.

• При $x = -2$, $y = -2 \times (-2)^2 = -8$.
• При $x = -1$, $y = -2 \times (-1)^2 = -2$.
• При $x = 0$, $y = -2 \times (0)^2 = 0$.

$y = 2x^2$ — уравнение параболы:

Для уравнения $y = 2x^2$, где $x \geq 0$, это парабола, открывающаяся вверх. Коэффициент $2$ делает параболу довольно крутой, но, в отличие от параболы, открывающейся вниз, значения функции будут увеличиваться по мере удаления от вершины. Вершина также будет в точке $(0; 0)$.

• При $x = 1$, $y = 2 \times (1)^2 = 2$.
• При $x = 2$, $y = 2 \times (2)^2 = 8$.
• При $x = 0$, $y = 2 \times (0)^2 = 0$.

График функции:

График функции будет состоять из двух частей: для $x < 0$ будет парабола, открывающаяся вниз, а для $x \geq 0$ — парабола, открывающаяся вверх.

Возрастающая функция:

Для $x \geq 0$ функция возрастает, так как значения $y$ увеличиваются по мере увеличения $x$. Таким образом, на интервале $[0; +\infty)$ функция возрастает.

в) $y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \leq 0 \\ -\frac{1}{2}x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

$y = 2x^2$ — уравнение параболы:

Для уравнения $y = 2x^2$, где $x \leq 0$, это парабола, открывающаяся вверх. Коэффициент $2$ делает параболу достаточно крутой. Вершина параболы будет находиться в точке $(0; 0)$, так как $b = 0$. Парабола будет симметрична относительно оси $y$, и значения функции будут увеличиваться по мере удаления от вершины.

• При $x = -2$, $y = 2 \times (-2)^2 = 8$.
• При $x = -1$, $y = 2 \times (-1)^2 = 2$.
• При $x = 0$, $y = 2 \times (0)^2 = 0$.

$y = -\frac{1}{2}x^2$ — уравнение параболы:

Для уравнения $y = -\frac{1}{2}x^2$, где $x > 0$, это парабола, открывающаяся вниз. Коэффициент $-\frac{1}{2}$ делает параболу менее крутой по сравнению с параболой, открывающейся вверх. Вершина будет в точке $(0; 0)$, и функция будет убывать по мере увеличения $x$.

• При $x = 2$, $y = -\frac{1}{2} \times (2)^2 = -2$.
• При $x = 4$, $y = -\frac{1}{2} \times (4)^2 = -8$.
• При $x = 0$, $y = -\frac{1}{2} \times (0)^2 = 0$.

График функции:

График функции будет состоять из двух частей: для $x \leq 0$ будет парабола, открывающаяся вверх, а для $x > 0$ — парабола, открывающаяся вниз.

Убывающая функция:

Для $x > 0$ функция убывает, так как значения $y$ становятся всё более отрицательными по мере увеличения $x$. Таким образом, на интервале $(0; +\infty)$ функция убывает.