ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 222 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их точек пересечения:

а) $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = \frac{1}{2}x + 1$;

б) $y = 2x^2$ и $y = -2x + 4$;

в) $y = -0.5x^2$ и $y = \frac{4}{x}$;

г) $y = -2x^2$ и $y = -\frac{2}{x}$.

а) $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = \frac{1}{2}x + 1$:

$y = 0.5x + 1$ — уравнение прямой:

$y = 0.5x^2$ — уравнение параболы:

Точки пересечения: $(2; 2)$ и $(-1; \frac{1}{2})$.

б) $y = 2x^2$ и $y = -2x + 4$:

$y = -2x + 4$ — уравнение прямой:

$y = 2x^2$ — уравнение параболы:

Точки пересечения: $(1; 2)$ и $(-2; 8)$.

в) $y = \frac{4}{x}$ и $y = -0.5x^2$:

$y = \frac{4}{x}$ — уравнение гиперболы в I и III четвертях:

$y = -0.5x^2$ — уравнение параболы:

Точка пересечения: $(-2; -2)$.

г) $y = -\frac{2}{x}$ и $y = -2x^2$:

$y = -\frac{2}{x}$ — уравнение гиперболы во II и IV четвертях:

$y = -2x^2$ — уравнение параболы:

Точка пересечения: $(1; -2)$.

а) $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = \frac{1}{2}x + 1$:

$y = 0.5x + 1$ — уравнение прямой:

Уравнение прямой имеет вид $y = mx + b$, где $m = 0.5$ — это угловой коэффициент, а $b = 1$ — это свободный член, который указывает на пересечение прямой с осью $y$. Прямая имеет положительный угловой коэффициент, поэтому она будет подниматься слева направо, а её пересечение с осью $y$ происходит в точке $(0; 1)$.

$y = 0.5x^2$ — уравнение параболы:

Уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 + b$, где $a = 0.5$ и $b = 0$. Парабола открывается вверх, так как коэффициент $a > 0$. Вершина параболы находится в точке $(0; 0)$, и она симметрична относительно оси $y$. Это означает, что при $x$ больше или меньше нуля значение функции будет расти.

Для нахождения точек пересечения этих графиков приравняем обе функции:

$$0.5x^2 = 0.5x + 1$$

Переносим все в одну сторону:

$$0.5x^2 — 0.5x — 1 = 0$$

Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичных:

$$x^2 — x — 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 — 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$

Получаем два корня:

$$x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{1 — 3}{2} = -1$$

Теперь подставим эти значения $x$ обратно в уравнение для $y$, чтобы найти координаты точек пересечения:

• Для $x = 2$, $y = 0.5(2)^2 = 2$.
• Для $x = -1$, $y = 0.5(-1)^2 = 0.5$.

Точки пересечения: $(2; 2)$ и $(-1; 0.5)$.

б) $y = 2x^2$ и $y = -2x + 4$:

$y = -2x + 4$ — уравнение прямой:

Уравнение прямой имеет вид $y = mx + b$, где $m = -2$ — это угловой коэффициент, а $b = 4$ — это свободный член, который указывает на точку пересечения прямой с осью $y$. Эта прямая имеет отрицательный угловой коэффициент, что означает, что она убывает слева направо, а её пересечение с осью $y$ происходит в точке $(0; 4)$.

$y = 2x^2$ — уравнение параболы:

Уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 + b$, где $a = 2$ и $b = 0$. Парабола открывается вверх, так как коэффициент $a > 0$. Вершина параболы находится в точке $(0; 0)$, и она симметрична относительно оси $y$.

Для нахождения точек пересечения этих графиков приравняем обе функции:

$$2x^2 = -2x + 4$$

Переносим все в одну сторону:

$$2x^2 + 2x — 4 = 0$$

Разделим на 2:

$$x^2 + x — 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 — 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$

Получаем два корня:

$$x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-1 — 3}{2} = -2$$

Теперь подставим эти значения $x$ обратно в уравнение для $y$, чтобы найти координаты точек пересечения:

• Для $x = 1$, $y = 2(1)^2 = 2$.
• Для $x = -2$, $y = 2(-2)^2 = 8$.

Точки пересечения: $(1; 2)$ и $(-2; 8)$.

в) $y = \frac{4}{x}$ и $y = -0.5x^2$:

$y = \frac{4}{x}$ — уравнение гиперболы в I и III четвертях:

График функции $y = \frac{4}{x}$ представляет собой гиперболу, которая имеет асимптоты на осях $x$ и $y$. Функция имеет значения, определённые на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, и график будет располагаться в первой и третьей четвертях.

$y = -0.5x^2$ — уравнение параболы:

Уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 + b$, где $a = -0.5$ и $b = 0$. Парабола открывается вниз, так как коэффициент $a < 0$. Вершина параболы находится в точке $(0; 0)$, и её ветви направлены вниз.

Для нахождения точек пересечения этих графиков приравняем обе функции:

$$\frac{4}{x} = -0.5x^2$$

Умножим обе стороны на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$$4 = -0.5x^3$$

Умножим обе стороны на 2:

$$8 = -x^3$$

Извлекаем кубический корень:

$$x = -2$$

Теперь подставим $x = -2$ обратно в уравнение для $y$, чтобы найти координату $y$:

$$y = \frac{4}{-2} = -2$$

Точка пересечения: $(-2; -2)$.

г) $y = -\frac{2}{x}$ и $y = -2x^2$:

$y = -\frac{2}{x}$ — уравнение гиперболы во II и IV четвертях:

График функции $y = -\frac{2}{x}$ представляет собой гиперболу, которая имеет асимптоты на осях $x$ и $y$. График будет располагаться во второй и четвёртой четвертях.

$y = -2x^2$ — уравнение параболы:

Уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 + b$, где $a = -2$ и $b = 0$. Парабола открывается вниз, так как коэффициент $a < 0$.

Для нахождения точек пересечения этих графиков приравняем обе функции:

$$-\frac{2}{x} = -2x^2$$

Умножим обе стороны на $x$:

$$-2 = -2x^3$$

Разделим обе стороны на -2:

$$1 = x^3$$

Извлекаем кубический корень:

$$x = 1$$

Теперь подставим $x = 1$ обратно в уравнение для $y$, чтобы найти координату $y$:

$$y = -2(1)^2 = -2$$

Точка пересечения: $(1; -2)$.