ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 214 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции на указанной области определения, составив предварительно таблицу ее значений:

а) $y = 2x^2$, где $-2 < x < 2$;

б) $y = \frac{1}{4}x^2$, где $-4 < x < 4$.

Для каждой функции укажите ее наибольшее и наименьшее значения на заданном промежутке.

а) $y = 2x^2$, где $-2 \leq x \leq 2$:

Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = 8$;
Наименьшее значение: $y_{\text{min}} = 0$;

б) $y = \frac{1}{2}x^2$, где $-4 \leq x \leq 4$:

Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = 8$;
Наименьшее значение: $y_{\text{min}} = 0$;

а) $y = 2x^2$, где $-2 \leq x \leq 2$:
Для данной функции $y = 2x^2$ мы видим, что это парабола с ветвями, направленными вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положительный. Мы хотим найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке $-2 \leq x \leq 2$.

1)Нахождение наименьшего значения:
Функция $y = 2x^2$ имеет минимум в точке, где $x = 0$, так как парабола симметрична относительно оси $y$ и наименьшее значение функции достигается в вершине параболы. Подставим $x = 0$ в функцию:

$$y(0) = 2(0)^2 = 0$$

Таким образом, наименьшее значение функции на интервале $-2 \leq x \leq 2$ равно $y_{\text{min}} = 0$.

2)Нахождение наибольшего значения:
Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке $-2 \leq x \leq 2$, подставим крайние точки интервала $x = -2$ и $x = 2$. Поскольку функция симметрична, значения функции в этих точках будут одинаковыми. Подставим $x = 2$ (или $x = -2$) в функцию:

$$y(2) = 2(2)^2 = 2 \times 4 = 8$$

Таким образом, наибольшее значение функции на интервале $-2 \leq x \leq 2$ равно $y_{\text{max}} = 8$.

б) $y = \frac{1}{2}x^2$, где $-4 \leq x \leq 4$:
Функция $y = \frac{1}{2}x^2$ также является параболой с ветвями, направленными вверх, и имеет минимум в точке $x = 0$, так как коэффициент при $x^2$ положительный. Теперь рассмотрим наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке $-4 \leq x \leq 4$.

1)Нахождение наименьшего значения:
Функция $y = \frac{1}{2}x^2$ достигает минимального значения, когда $x = 0$, так как это вершина параболы. Подставим $x = 0$ в функцию:

$$y(0) = \frac{1}{2}(0)^2 = 0$$

Таким образом, наименьшее значение функции на интервале $-4 \leq x \leq 4$ равно $y_{\text{min}} = 0$.

2)Нахождение наибольшего значения:
Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке $-4 \leq x \leq 4$, подставим крайние точки интервала $x = -4$ и $x = 4$. Так как функция симметрична, значения в этих точках будут одинаковыми. Подставим $x = 4$ (или $x = -4$) в функцию:

$$y(4) = \frac{1}{2}(4)^2 = \frac{1}{2} \times 16 = 8$$

Таким образом, наибольшее значение функции на интервале $-4 \leq x \leq 4$ равно $y_{\text{max}} = 8$.