ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 213 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

(Задача-исследование.) Площадь $S$ прямоугольника с периметром, равным 20 см, является функцией длины основания $x$ (рис. 2.8).

1)Задайте функцию $S(x)$ формулой; убедитесь, что это квадратичная функция.

$$S(x) = x(10 — x) S(x) = 10x — x^2$$

2)Постройте график этой функции.

3)Укажите промежуток, который является областью определения этой функции.

$$0 < x < 10$$

4)Каковы значения функции в граничных точках области определения? Дайте геометрическое истолкование этого факта.

5)При каком значении длины основания $x$ площадь прямоугольника будет наибольшей? Что это за прямоугольник?
Площадь прямоугольника будет наибольшей, когда $x = 5$ см. В этом случае площадь будет равна $25 \, \text{см}^2$. Такой прямоугольник является квадратом.

x и (10 — x) — стороны прямоугольника;
P = 20 см — периметр;

1) Функция площади прямоугольника:
S(x) = x(10 — x);
S(x) = 10x — x^2;

2) Построим график функции:
10x — x^2 = 0;
x(10 — x) = 0, тогда:
x1 = 0 или 10 — x2 = 0, отсюда x2 = 10;
x = 0 и x = 10 — нули функции;
x = (0 + 10) / 2 = 5 — ось симметрии;
S(5) = 10 · 5 — 5^2 = 50 — 25 = 25;
Вершина параболы — точка (5; 25);

Координаты некоторых других точек:
S(2) = 10 · 2 — 2^2 = 20 — 4 = 16;
S(8) = 10 · 8 — 8^2 = 80 — 64 = 16;

3) Стороны прямоугольника не могут быть отрицательными, значит:
(x > 0) => (10 — x > 0)
(x > 0) => (-x > -10)
(x > 0) => (x < 10)
0 < x < 10;

4) Значения функции в граничных точках области определения:
S(0) = 10 · 0 — 0^2 = 0;
S(10) = 10 · 10 — 10^2 = 100 — 100 = 0;
В граничных точках одна из сторон прямоугольника равна нулю, то есть он представляет собой отрезок, а площадь отрезка равна нулю;

5) Наибольшая площадь прямоугольника (по графику):
S_max = 25 см^2, при x = 5 см, тогда 10 — x = 5 см;
Этот прямоугольник является квадратом.

x и (10 — x) — стороны прямоугольника;
P = 20 см — периметр;

1) Функция площади прямоугольника:
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = \text{длина} \times \text{ширина}$. В данном случае длина прямоугольника равна $x$, а ширина — $10 — x$, где $x$ — это одна из сторон прямоугольника. Таким образом, функция площади прямоугольника выглядит как:

$$S(x) = x(10 — x)$$

Раскрывая скобки, получаем:

$$S(x) = 10x — x^2$$

Это квадратичная функция, где коэффициент при $x^2$ отрицателен, что говорит о том, что график функции будет параболой, направленной вниз.

2) Построим график функции:
Чтобы построить график функции, начнем с нахождения корней уравнения $10x — x^2 = 0$. Для этого решим его:

$$10x — x^2 = 0$$

Вынесем $x$ за скобки:

$$x(10 — x) = 0$$

Таким образом, получаем два корня:

$$x_1 = 0 \quad \text{или} \quad x_2 = 10$$

Корни функции $x = 0$ и $x = 10$ — это точки, в которых площадь прямоугольника равна нулю. Эти значения определяют границы области определения функции.

Нахождение оси симметрии параболы. Осю симметрии для параболы с уравнением вида $ax^2 + bx + c$ можно найти по формуле:

$$x = \frac{-b}{2a}$$

В нашем случае $a = -1$, $b = 10$, так что:

$$x = \frac{-10}{2 \times (-1)} = \frac{10}{2} = 5$$

Это значит, что ось симметрии графика функции проходит через точку $x = 5$.

Теперь подставим $x = 5$ в исходную функцию, чтобы найти максимальное значение площади:

$$S(5) = 10 \cdot 5 — 5^2 = 50 — 25 = 25$$

Таким образом, наибольшая площадь прямоугольника равна 25 см², и эта площадь достигается, когда одна из сторон прямоугольника равна 5 см, а другая тоже 5 см. Это означает, что при $x = 5$ прямоугольник становится квадратом.

Координаты некоторых других точек:
Для нахождения значений функции в других точках подставим различные значения $x$. Например, для $x = 2$ и $x = 8$:

$$S(2) = 10 \cdot 2 — 2^2 = 20 — 4 = 16$$ $$S(8) = 10 \cdot 8 — 8^2 = 80 — 64 = 16$$

Эти значения показывают, что площадь прямоугольника с такими сторонами равна 16 см².

3) Стороны прямоугольника не могут быть отрицательными, значит:
Мы знаем, что длина сторон прямоугольника не может быть отрицательной. Это означает, что $x > 0$ и $10 — x > 0$. Рассмотрим оба неравенства:

$$x > 0 \quad \text{и} \quad 10 — x > 0$$

Из второго неравенства $10 — x > 0$ получаем:

$$x < 10$$

Таким образом, $x$ должно быть в интервале:

$$0 < x < 10$$

Это означает, что возможные значения $x$ должны лежать строго между 0 и 10, чтобы стороны прямоугольника были положительными.

4) Значения функции в граничных точках области определения:
Теперь найдем значения функции на границах области определения, то есть в точках $x = 0$ и $x = 10$. Подставим эти значения в функцию:

$$S(0) = 10 \cdot 0 — 0^2 = 0$$ $$S(10) = 10 \cdot 10 — 10^2 = 100 — 100 = 0$$

Как видно, при $x = 0$ или $x = 10$ одна из сторон прямоугольника равна нулю, и площадь прямоугольника становится равной нулю. Это подтверждает, что в этих точках прямоугольник превращается в отрезок.

5) Наибольшая площадь прямоугольника (по графику):
Как мы уже вычислили, максимальная площадь прямоугольника достигается в точке $x = 5$. В этой точке стороны прямоугольника равны $5$ см, и площадь равна:

$$S_{\text{max}} = 25 \, \text{см}^2$$

Этот прямоугольник является квадратом, так как его стороны равны.