ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 212 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

a) $y = x^2 + 4x + 7$;
б) $y = -2x^2 + 4x — 4$.

При построении пользуйтесь следующим планом:

1) найдите пару симметричных точек параболы, взяв, например, в качестве одной из них точку пересечения с осью $y$;

2) далее действуйте по плану, приведенному в упражнении 209, начиная с пункта 2.

Как вы думаете, почему в данном случае первый пункт был заменен? Предложите еще какой-нибудь способ нахождения координат симметричных точек параболы.

а) Функция: $y = x^2 + 4x + 7$

1) Точка пересечения с осью $y$ ($x = 0$):

$$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 + 7 = 0 + 7 = 7;$$

2) Симметричная точка (точка с такой же ординатой):

$$x^2+4x+7=7;$$

$$x^2 + 4x + 7 = 7;$$ $$x^2+4x=0;$$

$$x^2 + 4x = 0;$$ $$x(x+4)=0,\text{ тогда: }$$

$$x(x + 4) = 0, \text{ тогда: }$$ $$x_1=0;$$

$$x_1 = 0;$$ $$x_2 + 4 = 0, \text{ отсюда } x_2 = -4;$$

Точки симметрии $(0; 7)$ и $(-4; 7)$;

3) Ось симметрии равноудалена от точек с равными ординатами:

$$x = \frac{0 — 4}{2} = -2;$$

4) Координаты вершины параболы:

$$x = -2 \quad \text{и} \quad y(-2) = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 7 = 4 — 8 + 7 = 3;$$

5) Координаты некоторых других точек:

$$y(-5) = (-5)^2 + 4 \cdot (-5) + 7 = 25 — 20 + 7 = 12;$$ $$y(-3) = (-3)^2 + 4 \cdot (-3) + 7 = 9 — 12 + 7 = 4;$$ $$y(-1) = (-1)^2 + 4 \cdot (-1) + 7 = 1 — 4 + 7 = 4;$$ $$y(1) = 1^2 + 4 \cdot 1 + 7 = 1 + 4 + 7 = 12;$$

6) График функции:

б) Функция: $y = -2x^2 + 4x — 4$

1) Точка пересечения с осью $y$ ($x = 0$):

$$y(0) = -2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 — 4 = -4;$$

2) Симметричная точка (точка с такой же ординатой):

$$-2x^2+4x-4=-4;$$

$$-2x^2 + 4x — 4 = -4;$$ $$-2x^2+4x=0\mathrm{\mid }:(-2);$$

$$-2x^2 + 4x = 0 \quad | : (-2);$$ $$x^2-2x=0;$$

$$x^2 — 2x = 0;$$ $$x(x-2)=0,\text{ тогда: }$$

$$x(x — 2) = 0, \text{ тогда: }$$ $$x_1=0;$$

$$x_1 = 0;$$ $$x_2 — 2 = 0, \text{ отсюда } x_2 = 2;$$

Точки симметрии $(0; -4)$ и $(2; -4)$;

3) Ось симметрии равноудалена от точек с равными ординатами:

$$x = \frac{0 + 2}{2} = 1;$$

4) Координаты вершины параболы:

$$x = 1 \quad \text{и} \quad y(1) = -2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 — 4 = -2 + 4 — 4 = -2;$$

5) Координаты некоторых других точек:

$$y(-1) = -2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) — 4 = -2 \cdot 1 — 4 — 4 = -2 — 8 = -10;$$ $$y(3) = -2 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 — 4 = -2 \cdot 9 + 12 — 4 = -18 + 8 = -10;$$

6) График функции:

Первый пункт был заменен, потому что данные функции не имеют нулей.

Для нахождения симметричных точек также можно:

• Взять произвольное значение аргумента;
• Найти значение функции при этом аргументе;
• Найти значение второго аргумента при таком значении функции;
• Если второго значения аргумента нет, значит данная точка является вершиной параболы.

вершиной параболы$\boxed{}$

а) Функция: $y = x^2 + 4x + 7$

1) Точка пересечения с осью $y$ ($x = 0$):

Для того чтобы найти точку пересечения функции с осью $y$, нужно подставить $x = 0$ в уравнение функции. Получаем:

$$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 + 7 = 7.$$

Это значит, что точка пересечения функции с осью $y$ имеет координаты $(0, 7)$.

2) Симметричная точка (точка с такой же ординатой):

Для того чтобы найти вторую точку симметрии, необходимо решить уравнение $x^2 + 4x + 7 = 7$, так как мы ищем точку, где ордината равна 7. Упростим уравнение:

$$x^2 + 4x = 0,$$ $$x(x + 4) = 0.$$

Решая это уравнение, получаем два корня:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = -4.$$

Таким образом, вторая точка симметрии имеет координаты $(-4, 7)$, и обе точки симметрии — $(0, 7)$ и $(-4, 7)$.

3) Ось симметрии равноудалена от точек с равными ординатами:

Ось симметрии параболы — это прямая, которая проходит через середину отрезка, соединяющего точки симметрии. Для этого нужно вычислить среднее значение между абсциссами этих точек:

$$x = \frac{0 — 4}{2} = -2.$$

Таким образом, ось симметрии параболы — это прямая $x = -2$.

4) Координаты вершины параболы:

Вершина параболы находится на оси симметрии, то есть при $x = -2$. Подставим это значение в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины:

$$y(-2) = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 7 = 4 — 8 + 7 = 3.$$

Таким образом, координаты вершины параболы — $(-2, 3)$.

5) Координаты некоторых других точек:

Теперь найдем координаты нескольких других точек функции:

• $y(-5)$:

$$y(-5) = (-5)^2 + 4 \cdot (-5) + 7 = 25 — 20 + 7 = 12.$$

• $y(-3)$:

$$y(-3) = (-3)^2 + 4 \cdot (-3) + 7 = 9 — 12 + 7 = 4.$$

• $y(-1)$:

$$y(-1) = (-1)^2 + 4 \cdot (-1) + 7 = 1 — 4 + 7 = 4.$$

• $y(1)$:

$$y(1) = 1^2 + 4 \cdot 1 + 7 = 1 + 4 + 7 = 12.$$

6) График функции:

Теперь, зная координаты точек $(-5, 12)$, $(-3, 4)$, $(-1, 4)$, $(1, 12)$ и вершины $(-2, 3)$, можно построить график функции.

б) Функция: $y = -2x^2 + 4x — 4$

1) Точка пересечения с осью $y$ ($x = 0$):

Подставим $x = 0$ в уравнение функции:

$$y(0) = -2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 — 4 = -4.$$

Точка пересечения функции с осью $y$ имеет координаты $(0, -4)$.

2) Симметричная точка (точка с такой же ординатой):

Решим уравнение $-2x^2 + 4x — 4 = -4$:

$$-2x^2+4x=0\mathrm{\mid }:(-2),$$

$$-2x^2 + 4x = 0 \quad | : (-2),$$ $$x^2-2x=0,$$

$$x^2 — 2x = 0,$$ $$x(x — 2) = 0.$$

Получаем два корня:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = 2.$$

Таким образом, вторая точка симметрии имеет координаты $(2, -4)$, и обе точки симметрии — $(0, -4)$ и $(2, -4)$.

3) Ось симметрии равноудалена от точек с равными ординатами:

Ось симметрии параболы проходит через середину отрезка, соединяющего две симметричные точки. Вычислим среднее значение между абсциссами этих точек:

$$x = \frac{0 + 2}{2} = 1.$$

Таким образом, ось симметрии параболы — это прямая $x = 1$.

4) Координаты вершины параболы:

Вершина параболы находится на оси симметрии, то есть при $x = 1$. Подставим это значение в уравнение функции:

$$y(1) = -2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 — 4 = -2 + 4 — 4 = -2.$$

Таким образом, координаты вершины параболы — $(1, -2)$.

5) Координаты некоторых других точек:

Теперь найдем координаты нескольких других точек функции:

• $y(-1)$:

$$y(-1) = -2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) — 4 = -2 — 4 — 4 = -10.$$

• $y(3)$:

$$y(3) = -2 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 — 4 = -2 \cdot 9 + 12 — 4 = -18 + 8 = -10.$$

6. График функции:

Теперь, зная координаты точек $(-1, -10)$, $(3, -10)$, и вершины $(1, -2)$, можно построить график функции.

Первый пункт был заменен, потому что данные функции не имеют нулей.

Для нахождения симметричных точек также можно:

• Взять произвольное значение аргумента;
• Найти значение функции при этом аргументе;
• Найти значение второго аргумента при таком значении функции;
• Если второго значения аргумента нет, значит данная точка является вершиной параболы.

$\boxed{}$вершиной параболы