ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 211 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задайте формулой какую-нибудь квадратичную функцию, нулями которой являются числа $-1$ и $3$, и постройте её график.

Нули функции: $— 1$ и $3$;

1)Зададим функцию:
$x_1 = -1 \Rightarrow x_1 + 1 = 0;$
$x_2 = 3 \Rightarrow x_2 — 3 = 0;$
$y = (x_1 + 1)(x_2 — 3);$
$y = x^2 — 3x + x — 3;$
$y = x^2 — 2x — 3;$

2)Ось симметрии: $x = \frac{3 — 1}{2} = 1;$

3)Координаты вершины параболы:
$x = 1$ и $y(1) = 1^2 — 2 \cdot 1 — 3 = 1 — 2 — 3 = -4;$

4)Координаты некоторых других точек:
$y(-2) = (-2)^2 — 2 \cdot (-2) — 3 = 4 + 4 — 3 = 5;$
$y(0) = 0^2 — 2 \cdot 0 — 3 = 0 — 3 = -3;$
$y(2) = 2^2 — 2 \cdot 2 — 3 = 4 — 4 — 3 = -3;$
$y(4) = 4^2 — 2 \cdot 4 — 3 = 16 — 8 — 3 = 5;$

5)График функции:

Нули функции: $-1$ и $3$;

1)Зададим функцию:

Нули функции $-1$ и $3$ означают, что функция пересекает ось $x$ в точках $x = -1$ и $x = 3$. Чтобы составить квадратичную функцию с такими нулями, воспользуемся следующей формой:

$$y = (x — x_1)(x — x_2),$$

где $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$ — это корни функции. Подставляем эти значения:

$$y = (x — (-1))(x — 3) = (x + 1)(x — 3).$$

Теперь раскроем скобки:

$$y = x(x — 3) + 1(x — 3) = x^2 — 3x + x — 3 = x^2 — 2x — 3.$$

Таким образом, функция, у которой нули $-1$ и $3$, имеет вид:

$$y = x^2 — 2x — 3.$$

2)Ось симметрии:

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, которая проходит через середину отрезка, соединяющего два корня функции. Формула для нахождения оси симметрии для квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ имеет вид:

$$x = \frac{x_1 + x_2}{2},$$

где $x_1$ и $x_2$ — это корни функции. Подставляем $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$:

$$x = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1.$$

Таким образом, ось симметрии для данной функции — это прямая $x = 1$.

3)Координаты вершины параболы:

Вершина параболы лежит на оси симметрии, поэтому абсцисса вершины $x$ равна $1$, как мы только что нашли. Чтобы найти ординату вершины, подставим $x = 1$ в уравнение функции $y = x^2 — 2x — 3$:

$$y(1) = 1^2 — 2 \cdot 1 — 3 = 1 — 2 — 3 = -4.$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(1, -4)$.

4)Координаты некоторых других точек:

Для точности графика вычислим значения функции в нескольких других точках:

• $y(-2)$:

$$y(-2) = (-2)^2 — 2 \cdot (-2) — 3 = 4 + 4 — 3 = 5.$$

• $y(0)$:

$$y(0) = 0^2 — 2 \cdot 0 — 3 = 0 — 3 = -3.$$

• $y(2)$:

$$y(2) = 2^2 — 2 \cdot 2 — 3 = 4 — 4 — 3 = -3.$$

• $y(4)$:

$$y(4) = 4^2 — 2 \cdot 4 — 3 = 16 — 8 — 3 = 5.$$

Таким образом, мы нашли координаты точек $(-2, 5)$, $(0, -3)$, $(2, -3)$ и $(4, 5)$, которые также будут использованы при построении графика.

5)График функции:

На графике будут отмечены следующие точки: $(-2, 5)$, $(0, -3)$, $(1, -4)$ (вершина), $(2, -3)$, $(4, 5)$. Эти точки необходимо соединить плавной линией, которая образует параболу, открывающуюся вверх, с осью симметрии $x = 1$.