ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 209 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции $y = x^2 — x — 6$, пользуясь следующим планом:

1)Вычислите координаты точек пересечения параболы с осью $x$ и отметьте эти точки в координатной плоскости;

2)Проведите ось симметрии параболы;

3)Вычислите координаты вершины параболы и отметьте ее в координатной плоскости;

4)Вычислите координаты еще каких-нибудь точек параболы и отметьте их в координатной плоскости;

5)Соедините точки плавной линией.

Функция: $y = x^2 — x — 6$;

1)Точки пересечения параболы с осью $x$ (нули функции):
$x^2 — x — 6 = 0$;
$D = 1 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:
$x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$;

2)Ось симметрии равноудалена от точек с равными ординатами:
$x = \frac{3 — 2}{2} = \frac{1}{2}$;

3)Координаты вершины параболы:
$x = \frac{1}{2}$, $y\left(\frac{1}{2}\right) = 0.5^2 — 0.5 — 6 = 0.25 — 6.5 = -6.25$;

4)Координаты некоторых других точек:
$y(-3) = (-3)^2 — (-3) — 6 = 9 + 3 — 6 = 6$;
$y(-1) = (-1)^2 — (-1) — 6 = 1 + 1 — 6 = -4$;
$y(0) = 0^2 — 0 — 6 = 0 — 6 = -6$;
$y(1) = 1^2 — 1 — 6 = 1 — 7 = -6$;
$y(2) = 2^2 — 2 — 6 = 4 — 8 = -4$;
$y(4) = 4^2 — 4 — 6 = 16 — 10 = 6$;

5)График функции:

Функция: $y = x^2 — x — 6$;

1)Точки пересечения параболы с осью $x$ (нули функции):

Чтобы найти точки пересечения параболы с осью $x$, нужно решить уравнение $x^2 — x — 6 = 0$. Для этого используем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 1$, $b = -1$, $c = -6$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.$$

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня. Найдем их с помощью формулы:

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-1)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{1-5}{2}=-2,$$

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 5}{2} = -2,$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3.$$

Таким образом, точки пересечения параболы с осью $x$ — это $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

2)Ось симметрии параболы:

Ось симметрии параболы проходит через точку, которая является серединой отрезка, соединяющего точки пересечения параболы с осью $x$. Эта точка находится по формуле:

$$x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-2 + 3}{2} = \frac{1}{2}.$$

Таким образом, ось симметрии параболы — это прямая $x = \frac{1}{2}$.

3)Координаты вершины параболы:

Вершина параболы находится на оси симметрии. Чтобы найти ординату вершины, подставим значение $x = \frac{1}{2}$ в уравнение функции:

$$y\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 — \frac{1}{2} — 6 = 0.25 — 0.5 — 6 = -6.25.$$

Таким образом, координаты вершины параболы — $\left(\frac{1}{2}, -6.25\right)$.

4)Координаты некоторых других точек:

Для более точного построения графика, найдем координаты нескольких дополнительных точек.

• $y(-3)$:

$$y(-3) = (-3)^2 — (-3) — 6 = 9 + 3 — 6 = 6.$$

• $y(-1)$:

$$y(-1) = (-1)^2 — (-1) — 6 = 1 + 1 — 6 = -4.$$

• $y(0)$:

$$y(0) = 0^2 — 0 — 6 = 0 — 6 = -6.$$

• $y(1)$:

$$y(1) = 1^2 — 1 — 6 = 1 — 1 — 6 = -6.$$

• $y(2)$:

$$y(2) = 2^2 — 2 — 6 = 4 — 2 — 6 = -4.$$

• $y(4)$:

$$y(4) = 4^2 — 4 — 6 = 16 — 4 — 6 = 6.$$

5)График функции:

Теперь, зная все необходимые точки, можно построить график функции. На нем будут отмечены следующие точки: $(-3, 6)$, $(-1, -4)$, $(0, -6)$, $(1, -6)$, $(2, -4)$, $(4, 6)$, а также вершина $\left(\frac{1}{2}, -6.25\right)$. Эти точки следует соединить плавной линией, образующей график параболы, которая открывается вверх и имеет ось симметрии $x = \frac{1}{2}$.