ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 207 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите нули функции $y = f(x)$ или покажите, что их нет:
а) $f(x) = x^2 — 7x + 10$;

б) $f(x) = -x^2 + 5x — 7$;

в) $f(x) = 2x^2 — 8x — 8$;

г) $f(x) = 6x^2 — 5x + 1$.

В каждом случае опишите полученный результат на геометрическом языке. Попробуйте схематически изобразить соответствующую параболу в координатной плоскости.

а) $f(x) = x^2 — 7x + 10$;

1)Нули функции:
$x^2 — 7x + 10 = 0$;
$D = 7^2 — 4 \cdot 10 = 49 — 40 = 9$, тогда:
$x_1 = \frac{7 — 3}{2} = 2$, $x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5$;

2)График функции:

График функции $f(x)$ пересекает ось $x$ в точках с абсциссами 2 и 5;
Ответ: $x = 2$ и $x = 5$.

б) $f(x) = -x^2 + 5x — 7$;

1)Нули функции:
$-x^2 + 5x — 7 = 0$;
$D = 5^2 — 4 \cdot 7 = 25 — 28 = -3$;
$D < 0$, значит решений нет;

2)График функции:

График функции $f(x)$ не пересекает ось $x$;
Ответ: функция не имеет нулей.

в) $f(x) = 2x^2 — 8x — 8$;

1)Нули функции:
$2x^2 — 8x — 8 = 0 \, | : 2$;
$x^2 — 4x — 4 = 0$;
$D = 4^2 + 4 \cdot 4 = 16 + 16 = 32$, тогда:
$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = 2 \pm \sqrt{8}$;

2)График функции:

График функции $f(x)$ пересекает ось $x$ в точках с абсциссами $2 \pm \sqrt{8}$;
Ответ: $x = 2 \pm \sqrt{8}$.

г) $f(x) = 6x^2 — 5x + 1$;

1)Нули функции:
$6x^2 — 5x + 1 = 0$;
$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:
$x_1 = \frac{5 — 1}{6 \cdot 2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$,
$x_2 = \frac{5 + 1}{6 \cdot 2} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$;

2)График функции:

График функции $f(x)$ пересекает ось $x$ в точках с абсциссами $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$;
Ответ: $x = \frac{1}{3}$ и $x = \frac{1}{2}$.

а) $f(x) = x^2 — 7x + 10$;

1)Нули функции:

Нули функции — это значения $x$, при которых функция $f(x)$ равна нулю. Для нахождения нулей решим уравнение:

$$f(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 7x + 10 = 0$$

Для решения этого квадратного уравнения используем дискриминант. Дискриминант для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

Здесь $a = 1$, $b = -7$, и $c = 10$. Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9$$

Так как дискриминант положительный ($D = 9$), у уравнения два различных корня. Для нахождения корней используем формулу для корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = -7$, $D = 9$, и $a = 1$:

$$x_1=\frac{-(-7)-\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{7-3}{2}=\frac{4}{2}=2$$

$$x_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 — 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Таким образом, корни уравнения — $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$. Это означает, что график функции пересекает ось $x$ в точках $(2; 0)$ и $(5; 0)$.

2)График функции:

График функции $f(x) = x^2 — 7x + 10$ является параболой, открывающейся вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный. Парабола пересекает ось $x$ в точках $(2; 0)$ и $(5; 0)$. Эти точки являются нулями функции. Вершина параболы будет находиться между этими точками, а её абсцисса вычисляется как среднее арифметическое корней:

$$x_{\text{верш}} = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + 5}{2} = 3,5$$

Это значение абсциссы вершины параболы.

б) $f(x) = -x^2 + 5x — 7$;

1)Нули функции:

Для нахождения нулей функции решим уравнение $f(x) = 0$:

$$f(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad -x^2 + 5x — 7 = 0$$

Вычислим дискриминант для этого уравнения. Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac$$

Здесь $a = -1$, $b = 5$, и $c = -7$. Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 5^2 — 4 \cdot (-1) \cdot (-7) = 25 — 28 = -3$$

Так как дискриминант $D = -3$ отрицателен, у уравнения нет действительных корней. Это означает, что график функции не пересекает ось $x$, и функция не имеет нулей.

2)График функции:

График функции $f(x) = -x^2 + 5x — 7$ — это парабола, направленная вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен). Поскольку дискриминант отрицателен, парабола не пересекает ось $x$, и, следовательно, функция не имеет нулей.

в) $f(x) = 2x^2 — 8x — 8$;

1)Нули функции:

Для нахождения нулей функции решим уравнение $f(x) = 0$:

$$f(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 — 8x — 8 = 0$$

Разделим обе части на 2, чтобы упростить уравнение:

$$x^2 — 4x — 4 = 0$$

Теперь решим это уравнение с использованием дискриминанта. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

Здесь $a = 1$, $b = -4$, и $c = -4$. Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32$$

Дискриминант положительный, следовательно, у уравнения два различных корня. Для нахождения корней используем формулу:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = -4$, $D = 32$, и $a = 1$:

$$x_1=\frac{-(-4)-\sqrt{32}}{2\cdot 1}=\frac{4-\sqrt{32}}{2}=2-\sqrt{8}$$

$$x_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{32}}{2 \cdot 1} = \frac{4 — \sqrt{32}}{2} = 2 — \sqrt{8}$$ $$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{32}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + \sqrt{32}}{2} = 2 + \sqrt{8}$$

Таким образом, корни уравнения — $x_1 = 2 — \sqrt{8}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{8}$. Это означает, что график функции пересекает ось $x$ в этих точках.

2)График функции:

График функции $f(x) = 2x^2 — 8x — 8$ является параболой, открывающейся вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный. Парабола пересекает ось $x$ в точках, соответствующих корням $x_1 = 2 — \sqrt{8}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{8}$. Эти точки — нули функции.

г) $f(x) = 6x^2 — 5x + 1$;

1)Нули функции:

Для нахождения нулей функции решим уравнение $f(x) = 0$:

$$f(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 6x^2 — 5x + 1 = 0$$

Вычислим дискриминант для этого уравнения:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 — 24 = 1$$

Так как дискриминант положительный, у уравнения два различных корня. Для нахождения корней используем формулу для корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = -5$, $D = 1$, и $a = 6$:

$$x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot 6}=\frac{5-1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$

$$x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 — 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$ $$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

Таким образом, корни уравнения — $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{1}{2}$. Это означает, что график функции пересекает ось $x$ в точках $\left(\frac{1}{3}, 0\right)$ и $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$.

2)График функции:

График функции $f(x) = 6x^2 — 5x + 1$ является параболой, открывающейся вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный. Парабола пересекает ось $x$ в точках $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{1}{2}$. Эти точки — нули функции.