ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 206 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Какие из парабол, изображенных на рисунке 2.2:
а) пересекают ось $x$ в двух точках (назовите координаты этих точек);
б) касаются оси $x$ (назовите координаты точки касания);
в) не имеют с осью $x$ общих точек?

Сформулируйте вывод относительно каждого графика, используя термин «нуль функции».

а) Пересекает ось $x$ в двух точках:
График № 4 в точках $(1; 0)$ и $(3; 0)$;
Вывод: график № 4 имеет два нуля функции.

б) Касается оси $x$:
График № 1 в точке $(-4; 0)$;
Вывод: график № 1 имеет один нуль функции.

в) Не имеют с осью $x$ общих точек:
График № 2 и график № 3:
Вывод: графики № 2 и № 3 не имеют нулей функции.

а) Пересекает ось $x$ в двух точках:

Для того чтобы график функции пересекал ось $x$ в двух точках, нужно, чтобы у квадратной функции было два различных корня. Рассмотрим график № 4 с функцией $g(x) = -2x^2 + 8x — 6$. Чтобы найти, где график пересекает ось $x$, приравняем функцию к нулю:

$$-2x^2 + 8x — 6 = 0$$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

Здесь $a = -2$, $b = 8$, и $c = -6$. Подставим эти значения:

$$D = 8^2 — 4 \cdot (-2) \cdot (-6) = 64 — 48 = 16$$

Так как дискриминант положительный, у нас два различных корня. Для нахождения корней используем формулу для корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = 8$, $D = 16$, и $a = -2$:

$$x_1=\frac{-8-\sqrt{16}}{2\cdot (-2)}=\frac{-8-4}{-4}=\frac{-12}{-4}=3$$

$$x_1 = \frac{-8 — \sqrt{16}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-8 — 4}{-4} = \frac{-12}{-4} = 3$$ $$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-8 + 4}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1$$

Таким образом, график пересекает ось $x$ в точках $(1; 0)$ и $(3; 0)$. Это подтверждает, что график функции имеет два нуля функции.

б) Касается оси $x$:

Для того чтобы график функции касался оси $x$, необходимо, чтобы у квадратной функции был один корень, то есть дискриминант должен быть равен нулю. Рассмотрим график № 1 с функцией $h(x) = x^2 + 8x + 16$. Чтобы найти, где график касается оси $x$, приравняем функцию к нулю:

$$x^2 + 8x + 16 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 — 64 = 0$$

Так как дискриминант равен нулю, у нас один корень. Для нахождения корня используем формулу:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = 8$, $D = 0$, и $a = 1$:

$$x = \frac{-8 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$$

Таким образом, график касается оси $x$ в точке $(-4; 0)$. Это подтверждает, что график функции имеет один нуль функции.

в) Не имеют с осью $x$ общих точек:

Для того чтобы график функции не имел общих точек с осью $x$, необходимо, чтобы у функции не было действительных корней, то есть дискриминант должен быть меньше нуля. Рассмотрим график № 2 с функцией $f(x) = x^2 + 2x + 5$. Приравняем функцию к нулю:

$$x^2 + 2x + 5 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 — 20 = -16$$

Так как дискриминант отрицателен, у этого уравнения нет действительных корней. Это означает, что график функции не пересекает ось $x$ и не имеет с ней общих точек.

Аналогично, рассмотрим график № 3 с функцией $p(x) = 2x^2 + 3x + 4$. Приравняем функцию к нулю:

$$2x^2 + 3x + 4 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 — 32 = -23$$

Так как дискриминант отрицателен, у этого уравнения тоже нет действительных корней. Это также подтверждает, что график функции не пересекает ось $x$ и не имеет с ней общих точек.

Вывод: графики № 2 и № 3 не имеют нулей функции.