ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 205 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите на рисунке 2.2 график функции $y = g(x)$, где $g(x) = -2x^2 + 8x — 6$.

а) Верно ли, что $g(2) > 0$, $g(-1) < 0$, $g(3,5) > 0$?

б) Укажите несколько значений $x$, при которых $g(x) > 0$, $g(x) < 0$.

$y = g(x)$, где $g(x) = -2x^2 + 8x — 6$ — график № 4;

1)Значения функции:
$g(2) = 2 > 0$ — верно;
$g(-1) = -15 < 0$ — верно;
$g(3,5) \approx -3,5 > 0$ — неверно;

2)Значения аргумента:
$g(x) > 0$ при $x = 1,1; 1,6; 2; 2,5; 2,75;$
$g(x) < 0$ при $x = -1; 0; 0,5; 4; 5,75;$

$y = g(x)$, где $g(x) = -2x^2 + 8x — 6$ — график № 4;

1)Значения функции:

Нам нужно вычислить значения функции $g(x)$ для заданных $x$.

• Для $g(2)$:

$$g(2) = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 — 6$$

Вычислим поэтапно:

$$2^2=4\Rightarrow -2\cdot 4=-8$$

$$2^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad -2 \cdot 4 = -8$$ $$8\cdot 2=16$$

$$8 \cdot 2 = 16$$ $$-8 + 16 — 6 = 2$$

Таким образом, $g(2) = 2$, что больше нуля, и утверждение, что $g(2) > 0$, верно.

• Для $g(-1)$:

$$g(-1) = -2 \cdot (-1)^2 + 8 \cdot (-1) — 6$$

Вычислим поэтапно:

$$(-1{)}^2=1\Rightarrow -2\cdot 1=-2$$

$$(-1)^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad -2 \cdot 1 = -2$$ $$8\cdot (-1)=-8$$

$$8 \cdot (-1) = -8$$ $$-2 — 8 — 6 = -16$$

Таким образом, $g(-1) = -16$, что меньше нуля, и утверждение, что $g(-1) < 0$, верно.

• Для $g(3,5)$:

$$g(3,5) = -2 \cdot (3,5)^2 + 8 \cdot 3,5 — 6$$

Вычислим поэтапно:

$$(3,5{)}^2=12,25\Rightarrow -2\cdot 12,25=-24,5$$

$$(3,5)^2 = 12,25 \quad \Rightarrow \quad -2 \cdot 12,25 = -24,5$$ $$8\cdot 3,5=28$$

$$8 \cdot 3,5 = 28$$ $$-24,5 + 28 — 6 = -2,5$$

Таким образом, $g(3,5) = -2,5$, что меньше нуля, и утверждение, что $g(3,5) > 0$, неверно.

2)Значения аргумента:

Теперь найдём значения $x$, при которых функция $g(x)$ будет больше нуля ($g(x) > 0$) или меньше нуля ($g(x) < 0$).

• Для $g(x) > 0$:

Необходимо решить неравенство:

$$-2x^2 + 8x — 6 > 0$$

Умножим обе части на $-1$, меняя знак неравенства:

$$2x^2 — 8x + 6 < 0$$

Теперь решим квадратное неравенство. Для начала решим соответствующее квадратное уравнение:

$$2x^2 — 8x + 6 = 0$$

Вычислим дискриминант $D$:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 64 — 48 = 16$$

Корни уравнения:

$$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm 4}{4}$$

Получаем два корня:

$$x_1 = \frac{8 — 4}{4} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{8 + 4}{4} = 3$$

Таким образом, корни уравнения — $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Квадратная функция $2x^2 — 8x + 6$ имеет форму параболы, направленной вверх, и неравенство $2x^2 — 8x + 6 < 0$ выполняется на интервале $1 < x < 3$. Значит, функция $g(x) > 0$ при $x = 1,1; 1,6; 2; 2,5; 2,75$.

• Для $g(x) < 0$:

По аналогии, решим неравенство $-2x^2 + 8x — 6 < 0$, которое также преобразуется в $2x^2 — 8x + 6 > 0$. На основании решения квадратного уравнения $2x^2 — 8x + 6 = 0$, которое имеет корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$, функция $g(x) < 0$ на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(3; \infty)$. Значит, функция $g(x) < 0$ при $x = -1; 0; 0,5; 4; 5,75$.