ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 193 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сколько целых решений имеет система неравенств:

а)

$$\begin{cases} x\sqrt{2} < \frac{\sqrt{18}}{2} \\ 1 — \frac{4 — 3x}{5} > 0 \end{cases}$$

б)

$$\begin{cases} \frac{x}{4} — \frac{x + 2}{3} < 0 \\ -x + \sqrt{27} < \sqrt{12} \end{cases}$$

а)

$$\begin{cases} x\sqrt{2} < \frac{\sqrt{18}}{2} & | : \sqrt{2} \\ 1 — \frac{4 — 3x}{5} > 0 & | \cdot 5 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x < \frac{\sqrt{9}}{2} & \Rightarrow \begin{cases} x < \frac{3}{2} \\ 5 — (4 + 3x) > 0 \end{cases} \\ -3x < 5 — 4 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x < 1.5 \\ -3x < 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 1.5 \\ x > -\frac{1}{3} \end{cases}$$

Целые решения: $0; 1$;
Ответ: $2$.

б)

$$\begin{cases} \frac{x}{4} — \frac{x + 2}{3} < 0 & | \cdot 12 \\ x + \sqrt{27} < \sqrt{12} \end{cases}$$ $$\begin{cases} 3x — 4(x + 2) < 0 & \Rightarrow \begin{cases} 3x — 4x — 8 < 0 \\ x < \sqrt{4 \cdot 3} — \sqrt{9 \cdot 3} \end{cases} \\ x < \sqrt{12} — \sqrt{27} \end{cases}$$ $$\begin{cases} -x < 8 \\ x < 2\sqrt{3} — 3\sqrt{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -8 \\ x < -\sqrt{3} \end{cases}$$

$3 > 1;$
$\sqrt{3} > 1;$
$-\sqrt{3} < -1;$
$-8 < x < -\sqrt{3};$
Целые решения: $-7; -6; -5; -4; -3; -2;$
Ответ: $6$.

а)

$$\begin{cases} x\sqrt{2} < \frac{\sqrt{18}}{2} & | : \sqrt{2} \\ 1 — \frac{4 — 3x}{5} > 0 & | \cdot 5 \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$x\sqrt{2} < \frac{\sqrt{18}}{2}$$

Для того чтобы избавиться от множителя $\sqrt{2}$, умножим обе части на $\frac{1}{\sqrt{2}}$:

$$x < \frac{\sqrt{18}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 2}}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{2}$$

Таким образом, получаем:

$$x < \frac{3}{2} = 1.5$$

Теперь второе неравенство:

$$1 — \frac{4 — 3x}{5} > 0$$

Для начала умножаем обе части на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

$$5\cdot (1-\frac{4-3x}{5})>5\cdot 0$$

$$5 \cdot \left(1 — \frac{4 — 3x}{5}\right) > 5 \cdot 0$$ $$5 — (4 — 3x) > 0$$

Раскрываем скобки:

$$5 — 4 + 3x > 0$$

Упрощаем:

$$1 + 3x > 0$$

Теперь вычитаем 1 с обеих сторон:

$$3x > -1$$

Делим обе части на 3:

$$x > -\frac{1}{3}$$

Теперь совмещаем оба неравенства:

$$x < 1.5$$

и

$$x > -\frac{1}{3}$$

Таким образом, получаем:

$$-\frac{1}{3} < x < 1.5$$

Целые решения: $0, 1$
Ответ: $2$.

б)

$$\begin{cases} \frac{x}{4} — \frac{x + 2}{3} < 0 & | \cdot 12 \\ x + \sqrt{27} < \sqrt{12} \end{cases}$$

Решим первое неравенство:

$$\frac{x}{4} — \frac{x + 2}{3} < 0$$

Умножаем обе части на 12, чтобы избавиться от знаменателей:

$$12\cdot (\frac{x}{4}-\frac{x+2}{3})<12\cdot 0$$

$$12 \cdot \left(\frac{x}{4} — \frac{x + 2}{3}\right) < 12 \cdot 0$$ $$3x — 4(x + 2) < 0$$

Раскрываем скобки:

$$3x — 4x — 8 < 0$$

Упрощаем:

$$-x — 8 < 0$$

Теперь прибавляем 8 с обеих сторон:

$$-x < 8$$

Делим обе части на $-1$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется):

$$x > -8$$

Теперь второе неравенство:

$$x + \sqrt{27} < \sqrt{12}$$

Вычитаем $\sqrt{27}$ с обеих сторон:

$$x < \sqrt{12} — \sqrt{27}$$

Заменим значения корней:

$$x < \sqrt{12} — \sqrt{27} = 2\sqrt{3} — 3\sqrt{3} = -\sqrt{3}$$

Таким образом, получаем:

$$x < -\sqrt{3}$$

Теперь совмещаем оба неравенства:

$$x > -8$$

и

$$x < -\sqrt{3}$$

Таким образом, получаем:

$$-8 < x < -\sqrt{3}$$

Целые решения: $-7, -6, -5, -4, -3, -2$
Ответ: $6$.