ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 190 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях $x$ имеет смысл выражение:

а) $\frac{\sqrt{x — 4}}{2x — 16};$

б) $\frac{\sqrt{5 — x}}{3x + 15};$

в) $\frac{\sqrt{2x}}{x^2 + 1};$

г) $\frac{\sqrt{-3x}}{x^2 — 1}?$

а) $\frac{\sqrt{x — 4}}{2x — 16};$

Имеет смысл при:

$$\begin{cases} x — 4 \geq 0 \\ 2x — 16 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq 4 \\ 2x \neq 16 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq 4 \\ x \neq 8 \end{cases}$$

Ответ: $x \in [4; 8) \cup (8; +\infty).$

б) $\frac{\sqrt{5 — x}}{3x + 15};$

Имеет смысл при:

$$\begin{cases} 5 — x \geq 0 \\ 3x + 15 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -x \geq -5 \\ 3x \neq -15 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \leq 5 \\ x \neq -5 \end{cases}$$

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 5].$

в) $\frac{\sqrt{2x}}{x^2 + 1};$

Имеет смысл при:

$$\begin{cases} 2x \geq 0 \\ x^2 + 1 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq 0 \\ x^2 \neq -1 \end{cases} \Rightarrow x \geq 0.$$

Ответ: $x \in [0; +\infty).$

г) $\frac{\sqrt{-3x}}{x^2 — 1};$

Имеет смысл при:

$$\begin{cases} -3x \geq 0 \\ x^2 — 1 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \leq 0 \\ x^2 \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \leq 0 \\ x \neq \pm 1 \end{cases}$$

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0].$

а) $\frac{\sqrt{x — 4}}{2x — 16};$

Имеет смысл при:

Начнем с первого условия. Для того чтобы выражение под квадратным корнем имело смысл, необходимо, чтобы

$$x — 4 \geq 0.$$

Решение этого неравенства даёт

$$x \geq 4.$$

Теперь рассмотрим второе условие. Для того чтобы знаменатель не обращался в ноль, нужно, чтобы

$$2x — 16 \neq 0.$$

Решая это, получаем

$$2x \neq 16 \quad \Rightarrow \quad x \neq 8.$$

Соединяя оба условия, получаем, что выражение имеет смысл при $x \geq 4$ и $x \neq 8$.
Ответ: $x \in [4; 8) \cup (8; +\infty).$

б) $\frac{\sqrt{5 — x}}{3x + 15};$

Имеет смысл при:

Рассмотрим первое условие. Для того чтобы выражение под квадратным корнем имело смысл, необходимо, чтобы

$$5 — x \geq 0.$$

Решение этого неравенства даёт

$$x \leq 5.$$

Теперь рассмотрим второе условие. Для того чтобы знаменатель не обращался в ноль, нужно, чтобы

$$3x + 15 \neq 0.$$

Решая это, получаем

$$3x \neq -15 \quad \Rightarrow \quad x \neq -5.$$

Соединяя оба условия, получаем, что выражение имеет смысл при $x \leq 5$ и $x \neq -5$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 5].$

в) $\frac{\sqrt{2x}}{x^2 + 1};$

Имеет смысл при:

Для того чтобы выражение под квадратным корнем имело смысл, необходимо, чтобы

$$2x \geq 0.$$

Решение этого неравенства даёт

$$x \geq 0.$$

Теперь рассмотрим знаменатель. Поскольку $x^2 + 1$ всегда больше нуля для всех $x$ (поскольку $x^2 \geq 0$ и $1 > 0$), то это условие не накладывает дополнительных ограничений.

Таким образом, выражение имеет смысл при $x \geq 0$.
Ответ: $x \in [0; +\infty).$

г) $\frac{\sqrt{-3x}}{x^2 — 1};$

Имеет смысл при:

Для того чтобы выражение под квадратным корнем имело смысл, необходимо, чтобы

$$-3x \geq 0.$$

Решение этого неравенства даёт

$$x \leq 0.$$

Теперь рассмотрим второе условие. Для того чтобы знаменатель не обращался в ноль, нужно, чтобы

$$x^2 — 1 \neq 0.$$

Решая это, получаем

$$x^2 \neq 1 \quad \Rightarrow \quad x \neq \pm 1.$$

Соединяя оба условия, получаем, что выражение имеет смысл при $x \leq 0$ и $x \neq \pm 1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0].$