ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 185 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\sqrt{(\sqrt{5} — 2)^2};$

б) $\sqrt{11 — 6\sqrt{2}};$

в) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}};$

г) $\sqrt{(1 — \sqrt{3})^2} + \sqrt{(2 — \sqrt{3})^2};$

д) $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} + \sqrt{4 — 2\sqrt{3}};$

е) $\sqrt{4\sqrt{5} + 9} + \sqrt{11 — 4\sqrt{7}}.$

а)

$$\sqrt{(\sqrt{5} — 2)^2} = |\sqrt{5} — 2| = \sqrt{5} — 2 \quad (5 > 4 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{5} > 2);$$

б)

$$\sqrt{11 — 6\sqrt{2}} = \sqrt{9 — 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + 2} = \sqrt{(3 — \sqrt{2})^2} = |3 — \sqrt{2}| = 3 — \sqrt{2};$$ $$(2 < 9 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{2} < 3);$$

в)

$$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{5 + 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + 2} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2} = |\sqrt{5} + \sqrt{2}| = \sqrt{5} + \sqrt{2};$$

г)

$$\sqrt{(1 — \sqrt{3})^2} + \sqrt{(2 — \sqrt{3})^2} = |1 — \sqrt{3}| + |2 — \sqrt{3}| = \sqrt{3} — 1 + 2 — \sqrt{3} = 1;$$ $$(1 < 3 < 4 \quad \Rightarrow \quad 1 < \sqrt{3} < 2);$$

д)

$$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} + \sqrt{4 — 2\sqrt{3}} = \sqrt{3 + 2\sqrt{3} + 1} + \sqrt{3 — 2\sqrt{3} + 1} =$$ $$= \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{3} — 1)^2} = |\sqrt{3} + 1| + |\sqrt{3} — 1| = \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} — 1 = 2\sqrt{3};$$ $$(3 > 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{3} > 1);$$

е)

$$\sqrt{4\sqrt{5} + 9} + \sqrt{11 — 4\sqrt{7}} = \sqrt{5 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + 4} + \sqrt{7 — 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} + 4} =$$ $$= \sqrt{(\sqrt{5} + 2)^2} + \sqrt{(\sqrt{7} — 2)^2} = |\sqrt{5} + 2| + |\sqrt{7} — 2| = \sqrt{5} + 2 + \sqrt{7} — 2 =$$ $$= \sqrt{5} + \sqrt{7} \quad (7 > 4 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{7} > 2);$$

а)

$$\sqrt{(\sqrt{5} — 2)^2}$$

В данном выражении мы видим квадрат выражения $(\sqrt{5} — 2)$. Для того чтобы упростить это выражение, мы воспользуемся свойством квадратного корня и знаем, что квадратный корень из квадрата любого числа равен абсолютному значению этого числа. То есть,

$$\sqrt{(\sqrt{5} — 2)^2} = |\sqrt{5} — 2|.$$

Теперь рассмотрим, что $\sqrt{5}$ больше чем 2, поскольку

$$\sqrt{5} \approx 2.236 \quad \text{и} \quad 2.236 > 2.$$

Таким образом, $|\sqrt{5} — 2| = \sqrt{5} — 2$.
Ответ:

$$\sqrt{(\sqrt{5} — 2)^2} = \sqrt{5} — 2.$$

б)

$$\sqrt{11 — 6\sqrt{2}}$$

Чтобы упростить это выражение, начнем с того, что попробуем представить его в виде квадрата разности. Для этого раскроем скобки для $(\sqrt{3} — \sqrt{2})^2$:

$$(\sqrt{3} — \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 — 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 — 2 \cdot \sqrt{6} + 2 = 5 — 2\sqrt{6}.$$

Сравнив это с выражением $11 — 6\sqrt{2}$, видим, что оно не совпадает, но подберем такое представление, которое подходит. Попробуем аналогично преобразовать $11 — 6\sqrt{2}$ с учётом выделения полного квадрата. Мы можем переписать выражение как:

$$11 — 6\sqrt{2} = (3 — \sqrt{2})^2,$$

потому что раскрытие скобок даст нам:

$$(3 — \sqrt{2})^2 = 3^2 — 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 — 6\sqrt{2} + 2 = 11 — 6\sqrt{2}.$$

Таким образом, получаем:

$$\sqrt{11 — 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 — \sqrt{2})^2} = |3 — \sqrt{2}| = 3 — \sqrt{2}.$$

Ответ:

$$\sqrt{11 — 6\sqrt{2}} = 3 — \sqrt{2}.$$

в)

$$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$$

Попробуем представить выражение $7 + 2\sqrt{10}$ как квадрат разности или суммы. Для этого распишем квадрат суммы двух чисел:

$$(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}.$$

Таким образом, получаем:

$$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2} = |\sqrt{5} + \sqrt{2}| = \sqrt{5} + \sqrt{2}.$$

Ответ:

$$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}.$$

г)

$$\sqrt{(1 — \sqrt{3})^2} + \sqrt{(2 — \sqrt{3})^2}$$

Начнем с упрощения каждого из выражений внутри квадратных корней. Мы знаем, что

$$\sqrt{(a — b)^2} = |a — b|.$$

Таким образом,

$$\sqrt{(1 — \sqrt{3})^2} = |1 — \sqrt{3}| = \sqrt{3} — 1 \quad (\text{поскольку} \ \sqrt{3} > 1),$$

и

$$\sqrt{(2 — \sqrt{3})^2} = |2 — \sqrt{3}| = 2 — \sqrt{3} \quad (\text{поскольку} \ 2 > \sqrt{3}).$$

Теперь суммируем:

$$\sqrt{3} — 1 + 2 — \sqrt{3} = 1.$$

Ответ:

$$\sqrt{(1 — \sqrt{3})^2} + \sqrt{(2 — \sqrt{3})^2} = 1.$$

д)

$$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} + \sqrt{4 — 2\sqrt{3}}$$

Для начала упростим каждую из этих квадратных корней. Раскроем скобки для $(\sqrt{3} + 1)^2$ и $(\sqrt{3} — 1)^2$:

$$(\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3},$$

и

$$(\sqrt{3} — 1)^2 = (\sqrt{3})^2 — 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 — 2\sqrt{3} + 1 = 4 — 2\sqrt{3}.$$

Таким образом,

$$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = |\sqrt{3} + 1| = \sqrt{3} + 1,$$

и

$$\sqrt{4 — 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} — 1)^2} = |\sqrt{3} — 1| = \sqrt{3} — 1.$$

Теперь суммируем:

$$\sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} — 1 = 2\sqrt{3}.$$

Ответ:

$$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} + \sqrt{4 — 2\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}.$$

е)

$$\sqrt{4\sqrt{5} + 9} + \sqrt{11 — 4\sqrt{7}}$$

Попробуем упростить каждое из этих выражений. Начнем с первого:

$$4\sqrt{5} + 9 = (\sqrt{5} + 2)^2,$$

так как

$$(\sqrt{5} + 2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}.$$

Таким образом,

$$\sqrt{4\sqrt{5} + 9} = \sqrt{(\sqrt{5} + 2)^2} = |\sqrt{5} + 2| = \sqrt{5} + 2.$$

Теперь рассмотрим второе выражение:

$$11 — 4\sqrt{7} = (\sqrt{7} — 2)^2,$$

так как

$$(\sqrt{7} — 2)^2 = (\sqrt{7})^2 — 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 + 2^2 = 7 — 4\sqrt{7} + 4 = 11 — 4\sqrt{7}.$$

Таким образом,

$$\sqrt{11 — 4\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} — 2)^2} = |\sqrt{7} — 2| = \sqrt{7} — 2.$$

Теперь суммируем:

$$\sqrt{5} + 2 + \sqrt{7} — 2 = \sqrt{5} + \sqrt{7}.$$

Ответ:

$$\sqrt{4\sqrt{5} + 9} + \sqrt{11 — 4\sqrt{7}} = \sqrt{5} + \sqrt{7}.$$