ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 184 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Между какими соседними целыми числами заключено выражение:
а)

$$\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}};$$

б)

$$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+1};$$

а)

$$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}=$$

$$\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}} =$$ $$=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}{)}^2-1^2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{(\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{4}{)}^2}=$$

$$= \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2 — 1^2} + \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 — (\sqrt{2})^2} + \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4})^2 — (\sqrt{3})^2} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{(\sqrt{5})^2 — (\sqrt{4})^2} =$$ $$= \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} + \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} + \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{5-4} = \sqrt{2} — 1 + \sqrt{3} — \sqrt{2} + \sqrt{4} — \sqrt{3} + \sqrt{5} — \sqrt{4} = \sqrt{5} — 1;$$

$4 < 5 < 9$;
$2 < \sqrt{5} < 3$;
$1 < \sqrt{5} — 1 < 2$;

Ответ: между 1 и 2.

б)

$$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+1}=$$

$$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+1} =$$ $$=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2}+\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}{)}^2-1^2}=$$

$$= \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7})^2 — (\sqrt{5})^2} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 — (\sqrt{3})^2} + \frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3})^2 — 1^2} =$$ $$= \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{7-5} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3} + \frac{\sqrt{3}-1}{3-1} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5} + \sqrt{5}-\sqrt{3} + \sqrt{3}-1}{2} = \frac{\sqrt{7}-1}{2};$$

$4 < 7 < 9$;
$2 < \sqrt{7} < 3$;
$1 < \sqrt{7} — 1 < 2$;
$0,5 < \frac{\sqrt{7}-1}{2} < 1$;

Ответ: между 0 и 1.

а)

$$\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}} =$$

Каждое из слагаемых можно упростить, используя технику умножения на сопряженные выражения. Начнем с первого слагаемого. Умножаем числитель и знаменатель на $1 — \sqrt{2}$:

$$\frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1}{1+\sqrt{2}} \cdot \frac{1 — \sqrt{2}}{1 — \sqrt{2}} = \frac{1 — \sqrt{2}}{(1)^2 — (\sqrt{2})^2} = \frac{1 — \sqrt{2}}{1 — 2} = \frac{1 — \sqrt{2}}{-1} = \sqrt{2} — 1.$$

Аналогично для второго слагаемого:

$$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3} — \sqrt{2}}{\sqrt{3} — \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} — \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 — (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} — \sqrt{2}}{3 — 2} = \sqrt{3} — \sqrt{2}.$$

Третье слагаемое:

$$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} \cdot \frac{\sqrt{4} — \sqrt{3}}{\sqrt{4} — \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4} — \sqrt{3}}{(\sqrt{4})^2 — (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{4} — \sqrt{3}}{4 — 3} = \sqrt{4} — \sqrt{3}.$$

Четвертое слагаемое:

$$\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5} — \sqrt{4}}{\sqrt{5} — \sqrt{4}} = \frac{\sqrt{5} — \sqrt{4}}{(\sqrt{5})^2 — (\sqrt{4})^2} = \frac{\sqrt{5} — \sqrt{4}}{5 — 4} = \sqrt{5} — \sqrt{4}.$$

Теперь суммируем все результаты:

$$\sqrt{2} — 1 + \sqrt{3} — \sqrt{2} + \sqrt{4} — \sqrt{3} + \sqrt{5} — \sqrt{4}.$$

Вижу, что можно сократить одинаковые слагаемые:

$$(\sqrt{2} — \sqrt{2}) + (\sqrt{3} — \sqrt{3}) + (\sqrt{4} — \sqrt{4}) = 0.$$

Оставшееся выражение:

$$\sqrt{5} — 1.$$

Теперь находим, между какими соседними целыми числами заключено выражение $\sqrt{5} — 1$. Знаем, что

$$2 < \sqrt{5} < 3.$$

Следовательно,

$$1 < \sqrt{5} — 1 < 2.$$

Ответ: между 1 и 2.

б)

$$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+1} =$$

Каждое из слагаемых опять упрощаем, используя сопряженные выражения. Начнем с первого слагаемого. Умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{7} — \sqrt{5}$:

$$\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{7} — \sqrt{5}}{\sqrt{7} — \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} — \sqrt{5}}{(\sqrt{7})^2 — (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{7} — \sqrt{5}}{7 — 5} = \frac{\sqrt{7} — \sqrt{5}}{2}.$$

Аналогично для второго слагаемого:

$$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} — \sqrt{3}}{\sqrt{5} — \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} — \sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 — (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{5} — \sqrt{3}}{5 — 3} = \frac{\sqrt{5} — \sqrt{3}}{2}.$$

Третье слагаемое:

$$\frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{1}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3} — 1} = \frac{\sqrt{3} — 1}{(\sqrt{3})^2 — 1^2} = \frac{\sqrt{3} — 1}{3 — 1} = \frac{\sqrt{3} — 1}{2}.$$

Теперь суммируем все результаты:

$$\frac{\sqrt{7} — \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5} — \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} — 1}{2}.$$

Объединяем все числители в одном дробном выражении:

$$\frac{(\sqrt{7} — \sqrt{5}) + (\sqrt{5} — \sqrt{3}) + (\sqrt{3} — 1)}{2}.$$

Вижу, что можно сократить одинаковые слагаемые:

$$\sqrt{5} — \sqrt{5} + \sqrt{3} — \sqrt{3} = 0.$$

Оставшееся выражение:

$$\frac{\sqrt{7} — 1}{2}.$$

Теперь находим, между какими соседними целыми числами заключено выражение $\frac{\sqrt{7} — 1}{2}$. Знаем, что

$$2 < \sqrt{7} < 3.$$

Следовательно,

$$1 < \sqrt{7} — 1 < 2,$$

и

$$0.5 < \frac{\sqrt{7} — 1}{2} < 1.$$

Ответ: между 0 и 1.