ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 183 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Составьте какое-нибудь уравнение с рациональными коэффициентами, одним из корней которого является число:

а) $2\sqrt{3}$;
б) $2 + \sqrt{3}$;
в) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$.

а) Корень уравнения: $2\sqrt{3}$;

$$x=2\sqrt{3};$$

$$x = 2\sqrt{3};$$ $$x^2=4\cdot 3;$$

$$x^2 = 4 \cdot 3;$$ $$x^2=12;$$

$$x^2 = 12;$$ $$x^2-12=0\mathrm{\mid }+5;$$

$$x^2 — 12 = 0 \quad | +5;$$ $$x^2+5-12=5;$$

$$x^2 + 5 — 12 = 5;$$ $$x^2 — 7 = 5;$$

б) Корень уравнения: $2 + \sqrt{3}$;

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = 2 \pm \sqrt{3};$

$-\frac{b}{2a} = 2$, отсюда $b = -2a \cdot 2 = -4a;$
Пусть $a = 1$, тогда $b = -4;$

3)$\frac{\sqrt{D}}{2a} = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{D}{4a^2} = 3$, отсюда $D = 3 \cdot 4a^2 = 12;$
$D = b^2 — 4ac = 12$, отсюда $c = \frac{b^2 — 12}{4a};$
$c = \frac{16 — 12}{4} = \frac{4}{4} = 1;$

4)Уравнение: $x^2 — 4x + 1 = 0;$

в) Корень уравнения: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$;

$x = \sqrt{2} + \sqrt{3};$
$t = x^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6};$
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = 5 \pm 2\sqrt{6};$

$-\frac{b}{2a} = 5$, отсюда $b = -2a \cdot 5 = -10a;$
Пусть $a = 1$, тогда $b = -10;$

3)$\frac{\sqrt{D}}{2a} = 2\sqrt{6} \quad \Rightarrow \quad \frac{D}{4a^2} = 24$, отсюда $D = 24 \cdot 4a^2 = 96;$
$D = b^2 — 4ac = 96$, отсюда $c = \frac{b^2 — 96}{4a};$
$c = \frac{100 — 96}{4} = \frac{4}{4} = 1;$

4)Уравнение:
$t^2 — 10t + 1 = 0;$
$x^4 — 10x^2 + 1 = 0;$

а) Корень уравнения: $2\sqrt{3}$;
Пусть $x = 2\sqrt{3}$. Из этого следует, что $x^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.
Таким образом, получаем уравнение:

$$x^2 = 12$$

Затем приводим его к виду $x^2 — 12 = 0$, и прибавляем $5$ с обеих сторон:

$$x^2 — 12 + 5 = 5$$

Результат будет:

$$x^2 — 7 = 5$$

б) Корень уравнения: $2 + \sqrt{3}$;

1)Мы знаем, что корень уравнения выражается через формулу:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

При этом $x = 2 \pm \sqrt{3}$. Это означает, что $x = 2 + \sqrt{3}$ или $x = 2 — \sqrt{3}$.
2) Рассматриваем выражение для $x$. Для этого мы находим $-\frac{b}{2a} = 2$, что дает $b = -2a \cdot 2 = -4a$. Пусть $a = 1$, тогда $b = -4$.
3) Рассматриваем выражение для $\frac{\sqrt{D}}{2a} = \sqrt{3}$. Это означает, что $\frac{D}{4a^2} = 3$, и отсюда $D = 3 \cdot 4a^2 = 12$.
Таким образом, дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 12$$

Теперь находим значение $c$:

$$c = \frac{b^2 — 12}{4a} = \frac{16 — 12}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

4)Таким образом, уравнение имеет вид:

$$x^2 — 4x + 1 = 0$$

в) Корень уравнения: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$;

1)Пусть $x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$. Тогда квадрат этого числа будет равен:

$$t = x^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$$

Таким образом, $t = 5 + 2\sqrt{6}$. Теперь используем формулу для решения квадратного уравнения:

$$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = 5 \pm 2\sqrt{6}$$

2)По аналогии с предыдущим шагом, $-\frac{b}{2a} = 5$, отсюда находим $b = -2a \cdot 5 = -10a$. Пусть $a = 1$, тогда $b = -10$.

3)Следовательно, $\frac{\sqrt{D}}{2a} = 2\sqrt{6}$, что приводит нас к выражению $\frac{D}{4a^2} = 24$. Это дает $D = 24 \cdot 4a^2 = 96$.
Теперь находим значение $c$:

$$D = b^2 — 4ac = 96$$

Отсюда:

$$c = \frac{b^2 — 96}{4a} = \frac{100 — 96}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

4)Таким образом, уравнение будет:

$$t^2 — 10t + 1 = 0$$

И в результате получаем:

$$x^4 — 10x^2 + 1 = 0$$